1990-广东理-24 单-复数的辐角与位置

本题导读

本题考查由两个复数的辐角确定复数本身，利用几何作图。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 设 $z$ 是复数，$z+2$ 的辐角为 $\frac{\pi }{3}$，$z-2$ 的辐角为 $\frac{5\pi }{6}$，那么 $z$ 等于 ()

A. $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　　　C. $-\sqrt{3}+\mathrm{i}$　　　　　　D. $-1+\sqrt{3}\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

由辐角确定两条射线，交点即 $z$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$z+2$ 的辐角 $\frac{\pi }{3}$ 表示 $z$ 在以 $-2$ 为起点、方向角 $\frac{\pi }{3}$ 的射线上；$z-2$ 的辐角 $\frac{5\pi }{6}$ 表示 $z$ 在以 $2$ 为起点、方向角 $\frac{5\pi }{6}$ 的射线上。设 $z=-1+\sqrt{3}\mathrm{i}$，则 $z+2=1+\sqrt{3}\mathrm{i}$（辐角 $\frac{\pi }{3}$），$z-2=-3+\sqrt{3}\mathrm{i}$（辐角 $\frac{5\pi }{6}$），符合。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角与位置

核心方法：由 z+2 与 z−2 的辐角确定 z 的位置。

避坑指南：复数辐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辐角确定射线，两射线交点即 z。

结论推广：z+2 辐角 π/3。

方法推广：几何作图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1991-三南-09 单-复数的辐角主值
• 1992-上海-22 解-复数的辐角主值范围
• 1991-上海-25 解-复数的辐角与轨迹