1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积

本题导读

本题考查平行六面体的射影与体积。核心在于建系求射影坐标，证在角平分线上并求体积。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(文)） 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $AB=5$，$AD=4$，$A{A}_1=3$，$AB\perp AD$，$\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=\frac{\pi }{3}$.

(1)求证：顶点 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 的射影 $O$ 在 $\angle BAD$ 的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

建系求 $A_1$ 射影坐标，证在角平分线上，再由高求体积。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$30\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建直角坐标系，$A$ 为原点，$AB$ 沿 $x$ 轴，$AD$ 沿 $y$ 轴，底面 $ABCD$ 为 $z=0$。设 $A_1=(x,y,h)$（$h>0$）。由夹角条件 $x=A{A}_1\cos \angle A_{1}AB=3\cos \frac{\pi }{3}=\frac{3}{2}$，$y=A{A}_1\cos \angle A_{1}AD=\frac{3}{2}$。故射影 $O\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)$。因 $AB\perp AD$，$\angle BAD$ 的平分线方向为 $(1,1)$，故 $O$ 在角平分线上。 （2）由 $A{A}_1=3$ 得 $h=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。底面矩形面积 $AB\cdot AD=20$，故体积 $V=20\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=30\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行六面体的射影与体积

核心方法：建系求射影坐标，证在角平分线上，再求体积。

避坑指南：坐标法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三垂线定理。

结论推广：射影在角平分线。

方法推广：建系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1991-三南-27 解-空间向量证线线垂直
• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1992-三南-25 解-线面垂直与线面平行