1987-全国文-15 填-圆锥的体积

本题导读

本题考查圆锥体积的计算。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(文)） 圆锥底面积为 $3\pi$，母线与底面所成的角为 $60^{\circ }$，求它的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

由底面积求半径，再由母线与底面夹角求高。

✅【答案】

Success

$3\pi$

✍【详细解析】

Abstract

底面积 $\pi r^2=3\pi \Rightarrow r=\sqrt{3}$；母线与底面成 $60^{\circ }$，高 $h=r\tan 60^{\circ }=3$，故 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 3=3\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的体积

核心方法：底面积 $3\pi \Rightarrow r=\sqrt{3}$，母线 $l=2r=2\sqrt{3}$，高 $h=l\sin 60^{\circ }=3$。

避坑指南：$V=\frac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 3=3\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥体积公式。

结论推广：圆锥 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，$h=l\sin \theta$。

方法推广：由底面积和母线角求高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-03 单-圆锥的侧面积
• 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积
• 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积