1985-广东理-03 填-圆锥的体积

本题导读

本题考查圆锥体积公式与半径、高的平方反比关系。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） 如果一个圆锥底面的半径增大到原来的三倍，但要保持它的体积不变，则其高必须缩小到原来的 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 不变，$r$ 扩大 3 倍则 $h$ 缩为 $\frac{1}{9}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

设原半径为 $r$、高为 $h$，体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。半径变为 $3r$ 后，为保持体积不变，需 $\frac{1}{3}\pi (3r{)}^{2}h\prime =\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，即 $9h\prime =h$，故 $h\prime =\frac{1}{9}h$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥的体积

核心方法：体积不变列方程

避坑指南：半径扩大 $k$ 倍时高缩为 $\frac{1}{k^2}$，勿漏平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何体积公式的直接应用

结论推广：圆锥体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 中半径与高平方反比

方法推广：抓住体积不变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积
• 1987-广东文-06 单-圆锥的体积