1977-山东A-09 解-扇形余料做圆锥

本题导读

本题考查圆锥侧面展开。核心在于余料弧长等于底面周长 $2\pi r=R(2\pi -\alpha )$ 定出 $r$，母线即 $R$，勾股求 $h$，代入 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，最后代数值。

📌【题干】

Question

（1977年山东A卷） 在半径为 $R$ 的一块圆形铁板上，剪去一个圆心角为 $\alpha$ 弧度的扇形，用剩下的铁板做一个圆锥形容器（铁板厚度和加工量不计）. (1)用 $R$ 和 $\alpha$ 表示圆锥底面半径 $r$，圆锥高 $h$，圆锥容积 $V$.

(2)当 $R=20$ cm，$\alpha =\frac{2\pi }{5}$ 弧度时，计算圆锥容积 $V$（取 $\pi =3.14$，精确到 $1$ cm${}^3$）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)余料弧长 $R(2\pi -\alpha )$ 即底面周长 $2\pi r$，得 $r$；母线为 $R$，$h=\sqrt{R^2-r^2}$；$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。(2)代入化简：$r=16$，$h=12$，$V=1024\pi \approx 3215$。

✅【答案】

Success

(1)$r=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R$，$h=\frac{\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}}{2\pi }R$，$V=\frac{R^3(2\pi -\alpha {)}^2}{24{\pi }^2}\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}$(2)$1024\pi \approx 3215$ cm${}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $2\pi r=R(2\pi -\alpha )$，所以 $r=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R$。而 $h^2=R^2-r^2=R^2-{\left(\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R\right)}^2=\frac{4\pi \alpha -{\alpha }^2}{4{\pi }^2}{R}^2$，所以 $h=\frac{\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}}{2\pi }R$，所以 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }R\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}}{2\pi }R=\frac{R^3(2\pi -\alpha {)}^2}{24{\pi }^2}\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}$。 (2)当 $R=20$ cm，$\alpha =\frac{2\pi }{5}$ 时，$r=\frac{8\pi /5}{2\pi }\times 20=16$，$h=\frac{\sqrt{4\pi \cdot \frac{2\pi }{5}-\frac{4{\pi }^2}{25}}}{2\pi }\times 20=\frac{6\pi /5}{2\pi }\times 20=12$，$V=\frac{1}{3}\pi \times 16^2\times 12=1024\pi \approx 3215$ cm${}^3$。 答：当 $R=20$ cm，$\alpha =\frac{2\pi }{5}$ 时，圆锥的容积约为 $3215$ cm${}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：扇形余料做圆锥

核心方法：弧长守恒

避坑指南：$2\pi r=R(2\pi -\alpha )$，勾股求 $h$，代入体积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：容积

结论推广：$V=\frac{R^3(2\pi -\alpha {)}^2}{24{\pi }^2}\sqrt{4\pi \alpha -{\alpha }^2}$；$1024\pi \approx 3215$ cm${}^3$

方法推广：弧长守恒是钥匙

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1985-广东文-05 填-圆锥的体积
• 1987-全国文-15 填-圆锥的体积