1987-全国卷理-15 填-棱台的侧面积与斜高

本题导读

本题考查正棱台的性质，以及正三棱台的侧面积与底面积公式。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 一个正三棱台的下底和上底的周长分别为 $30\text{ cm}$ 和 $12\text{ cm}$，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正三棱台的上下底面都是正三角形，由周长除以 3 得边长 $a$ 与 $a^{\prime }$。
2. 由等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$ 求上、下底面积，进而求两底面积之差。
3. 正棱台侧面积公式 $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}(C+C^{\prime })\cdot h^{\prime }$，其中 $C,C^{\prime }$ 为上下底面周长，$h^{\prime }$ 为斜高。
4. 由 $S_{\text{侧}}=\Delta S$ 列方程，解出斜高 $h^{\prime }$。

✅【答案】

Success

$\sqrt{3}\mathrm{cm}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

设上底面边长为 $a$，下底面边长为 $b$，斜高为 $h^{\prime }$。 上底面周长 $12\text{ cm}$，下底面周长 $30\text{ cm}$： $a=\frac{12}{3}=4\text{ cm}\text{(1)}$ $b=\frac{30}{3}=10\text{ cm}\text{(2)}$

由等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$： $S_{\text{上}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\text{(3)}$ $S_{\text{下}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times b^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 10^2=25\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\text{(4)}$

两底面积之差： $\Delta S=S_{\text{下}}-S_{\text{上}}=25\sqrt{3}-4\sqrt{3}=21\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\text{⑤}$

正棱台侧面积公式： $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}(C_{\text{下}}+C_{\text{上}})\cdot h^{\prime }=\frac{1}{2}\times (30+12)\times h^{\prime }=21h^{\prime }\text{⑥}$

由题意“侧面积等于两底面积之差”： $21h^{\prime }=21\sqrt{3}\text{⑦}$

两边约去 21： $h^{\prime }=\sqrt{3}\text{ cm}\text{⑧}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱台侧面积、等边三角形面积、由几何关系列方程。
2. 核心方法：方程法。
3. 避坑指南：
   • 分清“斜高”与“棱台的高”：本题求的是斜高（侧面梯形的高 $h^{\prime }$），直接套侧面积公式即可，不必引入棱台的高去求解。
   • 注意面积差的顺序，用下底面积减去上底面积，保证差为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 15 题，考查正三棱台的侧面积计算。
2. 结论推广：正 $n$ 边形的面积与周长的平方成正比。对正三角形，设周长为 $C$，则面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{36}{C}^2$。本题 $\Delta S=\frac{\sqrt{3}}{36}(30^2-12^2)=\frac{\sqrt{3}}{36}\times (30-12)(30+12)=21\sqrt{3}$， 侧面积 $S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}(30+12)h^{\prime }=21h^{\prime }$，由 $21h^{\prime }=21\sqrt{3}$ 得 $h^{\prime }=\sqrt{3}\text{ cm}$。

🔗【关联脉络】

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13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

1989-全国文-03 单-圆锥的侧面积 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积