1989-上海-28 解-动点轨迹与最值

本题导读

本题考查动点轨迹与最值。核心在于建极坐标系求轨迹，分类讨论 p 求最值。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） $F$ 是定点，$l$ 是定直线，点 $F$ 到直线 $l$ 的距离为 $p$（$p>0$），点 $M$ 在直线 $l$ 上滑动，动点 $N$ 在 $MF$ 的延长线上，且满足条件 $\frac{|FN|}{|MN|}=\frac{1}{|MF|}$.

(1)求动点 $N$ 的轨迹；

(2)求 $|MN|$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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以 F 为极点建极坐标，由条件求轨迹方程，分类讨论求最值。

✅【答案】

Success

(1)轨迹为圆锥曲线（双曲线/抛物线/椭圆）在直线 $l\prime$ 右边的部分；(2)若 $0<p\le 2$，最小值为 4；若 $p>2$，最小值为 $\frac{p^2}{p-1}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）作 $FK\perp l$，以 $F$ 为极点、$FK$ 反向延长线为极轴建极坐标。设 $N(\rho ,\theta )$，取 $\rho >0$，$\cos \theta >0$。$|MF|=\frac{p}{\cos \theta }$，$|FN|=\rho$，$|MN|=\frac{p}{\cos \theta }+\rho$。由 $\frac{|FN|}{|MN|}=\frac{1}{|MF|}$ 得 $\rho =\frac{1}{1-\frac{1}{p}\cos \theta }$（$0<\cos \theta <p$）。当 $\frac{1}{p}>1$（$0<p<1$）为双曲线；$\frac{1}{p}=1$（$p=1$）为抛物线；$\frac{1}{p}<1$（$p>1$）为椭圆，均在直线 $l\prime$ 右边部分。 （2）$|MN|=\frac{p}{\cos \theta }+\frac{1}{1-\frac{1}{p}\cos \theta }=\frac{p^2}{\cos \theta (p-\cos \theta )}=\frac{p^2}{-{\left(\cos \theta -\frac{p}{2}\right)}^2+\frac{p^2}{4}}$。若 $0<p\le 2$，当 $\cos \theta =\frac{p}{2}$ 时 $|MN|$ 最小值为 4；若 $p>2$，当 $\cos \theta =1$ 时 $|MN|$ 最小值为 $\frac{p^2}{p-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动点轨迹与最值

核心方法：建极坐标系求动点轨迹，讨论最值。

避坑指南：极坐标轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标轨迹。

结论推广：ρ=1/(1−cosθ/p)。

方法推广：讨论 p

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1991-上海-26 解-重心轨迹方程的求法
• 1992-上海-23 解-动点轨迹方程
• 1990-广东文-13 单-动点轨迹方程