1987-广东理-22 单-轨迹方程与图形

本题导读

本题考查由等差关系求轨迹图形。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 若动点 $P$ 的横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$，使得 $\lg y$，$\lg |x|$，$\lg \left(y-\frac{x}{2}\right)$ 成等差数列，则动点 $P$ 的轨迹的图形是() （四个选项为图象，官方影印图待补）

🔍【思路分析】

破题导航

$2\lg |x|=\lg y+\lg (y-\frac{x}{2})$，得 $x^2=y(y-\frac{x}{2})$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由等差得 $2\lg |x|=\lg y+\lg \left(y-\frac{x}{2}\right)$，故 $x^2=y\left(y-\frac{x}{2}\right)$，即 $x^2=y^2-\frac{xy}{2}$，轨迹为对应图形 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程与图形

核心方法：$\lg y,\lg |x|,\lg (y-\frac{x}{2})$ 等差，$2\lg |x|=\lg y+\lg (y-\frac{x}{2})$。

避坑指南：$|x{|}^2=y(y-\frac{x}{2})$，轨迹图形选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中项轨迹。

结论推广：$2\lg |x|=\lg y+\lg (y-\frac{x}{2})$。

方法推广：对数等差转指数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1988-上海-09 填-动点轨迹方程
• 1989-上海-28 解-动点轨迹与最值