1988-广东理-21 单-直线与半圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与半圆有两个交点时斜率的取值范围。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 曲线 $y=1+\sqrt{4-x^2}$（$-2⩽x⩽2$）与直线 $y=k(x-2)+4$ 有两个交点时，实数 $k$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{5}{12},\frac{3}{4}\right]$　　　　　B. $\left(\frac{5}{12},+\infty \right)$　　　　　C. $\left(\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$　　　　　D. $\left(0,\frac{5}{12}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

曲线是上半圆，直线过定点 $(2,4)$，结合切线斜率和过端点斜率确定范围。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $y=1+\sqrt{4-x^2}$ 是圆心 $(0,1)$、半径 $2$ 的上半圆。直线 $y=k(x-2)+4$ 恒过点 $(2,4)$。直线与上半圆有两个交点，其斜率介于过左端点 $(-2,1)$ 的斜率与切线斜率之间。过 $(-2,1)$：$k=\frac{4-1}{2-(-2)}=\frac{3}{4}$；切线（圆心到直线距离 $=2$）：$|k\cdot 0-1-2k+4|/\sqrt{k^2+1}=2$，即 $|3-2k|=2\sqrt{k^2+1}$，解得 $k=\frac{5}{12}$。故 $k\in (\frac{5}{12},\frac{3}{4}]$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与半圆的位置关系

核心方法：半圆 $y=1+\sqrt{4-x^2}$ 与过 $(2,4)$ 的直线相交于两点，求斜率范围。

避坑指南：上界不是水平线 $k=0$，而是过左端点 $(-2,1)$ 与定点 $(2,4)$ 的连线，斜率 $\frac{4-1}{2-(-2)}=\frac{3}{4}$。右端点 $(2,1)$ 恰在定点 $(2,4)$ 的正下方，过这两点的直线竖直，$k$ 不存在，给不出上界。$k$ 从切线的 $\frac{5}{12}$ 爬到 $\frac{3}{4}$，中间每个值都恰好两个交点；两端各退化成一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与半圆。

结论推广：数形结合。

方法推广：切线斜率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-25 单-二次方程表示两直线
• 1990-广东理-07 单-动点轨迹方程
• 1989-上海-28 解-动点轨迹与最值