1987-上海-28 解-抛物线上的最值

本题导读

本题考查抛物线上点到定点距离的最小值，核心在于设参数点并分类讨论。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 在 $xOy$ 平面上给定一曲线 $y^2=2x$.(1)设点 $A$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{3},0\right)$，求曲线上距点 $A$ 最近的点 $P$ 的坐标及相应的距离 $|PA|$.(2)设点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，$a\in \mathbf{R}$，求曲线上点到点 $A$ 的距离的最小值，并写出 $d=f(a)$ 的函数表达式.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P(\frac{t^2}{2},t)$，$|PA{|}^2$ 是关于 $t$ 的二次式，配方求最小值。

✅【答案】

Success

(1)$P(0,0)$，$|PA|=\frac{2}{3}$；(2)$d=f(a)=\sqrt{2a-1}$（$a\ge 1$）或 $|a|$（$a<1$）

✍【详细解析】

Abstract

设曲线上点 $P(\frac{t^2}{2},t)$。（1）$|PA{|}^2=(\frac{t^2}{2}-\frac{2}{3}{)}^2+t^2=(t^2+\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}\ge \frac{4}{9}$，当 $t=0$ 取等，$P(0,0)$，$|PA|=\frac{2}{3}$。（2）$|PA{|}^2=(\frac{t^2}{2}-a{)}^2+t^2=[t^2-(a-1){]}^2+(2a-1)$。当 $a\ge 1$ 时 $t^2=a-1$ 取最小，$d=\sqrt{2a-1}$；当 $a<1$ 时 $t=0$ 取最小，$d=|a|$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线上的最值

核心方法：设曲线上点 $P(\frac{t^2}{2},t)$，求 $|PA{|}^2$ 关于 $t$ 的最小值，分类讨论 $a$。

避坑指南：$a\ge 1$ 时 $d=\sqrt{2a-1}$，$a<1$ 时 $d=|a|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线上点到定点距离。

结论推广：设参数点求距离最小值，分类讨论。

方法推广：二次函数配方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 1988-上海-28 解-双曲线与等差数列
• 1989-上海-28 解-动点轨迹与最值
• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线