1986-广东理-15 单-椭圆与抛物线的交点

本题导读

本题考查椭圆与抛物线交点的个数。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 椭圆 $\frac{(x+1{)}^2}{4}+y^2=1$ 与抛物线 $y=1-(x+1{)}^2$ 的交点的个数是 ()

A. $0$　　　　　B. $1$　　　　　C. $2$　　　　　D. $3$　　　　　E. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

联立消 $y$，得关于 $x$ 的方程，判交点个数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y^2=1-\frac{(x+1{)}^2}{4}$ 且 $y=1-(x+1{)}^2$。设 $t=x+1$，则椭圆 $y^2=1-\frac{t^2}{4}$，抛物线 $y=1-t^2$。联立 $1-\frac{t^2}{4}=(1-t^2{)}^2$，得 $t^2$ 的二次方程，有两个正根，对应 $4$ 个 $t$ 值中 $3$ 个不同交点（$t=0$ 时 $y=1$ 重合需排除一个）。经检验共 $3$ 个交点。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与抛物线的交点

核心方法：联立椭圆与抛物线，消元判交点。

避坑指南：$3$ 个交点，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曲线交点。

结论推广：联立判判别式。

方法推广：数交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1987-上海-28 解-抛物线上的最值
• 1989-广东理-33 解-对数函数与抛物线