1986-上海文-35 解-抛物线与圆的交点

本题导读

本题考查抛物线与圆的交点及中点坐标，核心在于联立消元与韦达定理。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） 如果抛物线 $y^2=px$ 和圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 相交，它们在 $x$ 轴上方的交点为 $A$ 和 $B$，那么当 $p$ 为何值时，线段 $AB$ 的中点 $M$ 在直线 $y=x$ 上.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $y^2=px$ 代入圆方程得关于 $x$ 的二次方程，用韦达定理求中点，再令 $y_M=x_M$。

✅【答案】

Success

$p=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。由 $y^2=px$ 代入圆方程 $(x-2{)}^2+px=3$，得 $x^2+(p-4)x+1=0$，故 $x_1+x_2=4-p$，$x_1{x}_2=1$。中点 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4-p}{2}$。 因 $A,B$ 在 $x$ 轴上方，$y_1+y_2=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2}=\sqrt{y_1^2+y_2^2+2y_1{y}_2}=\sqrt{p(x_1+x_2)+2p\sqrt{x_1{x}_2}}=\sqrt{p(4-p)+2p}=\sqrt{6p-p^2}$，故 $y_M=\frac{\sqrt{6p-p^2}}{2}$。 由 $M$ 在 $y=x$ 上，$\frac{\sqrt{6p-p^2}}{2}=\frac{4-p}{2}$，即 $\sqrt{6p-p^2}=4-p$，平方得 $6p-p^2=(4-p{)}^2$，整理 $p^2-7p+8=0$，$p=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2}$。又 $x_M=\frac{4-p}{2}\ge 0$ 需 $p\le 4$，故舍去 $p=\frac{7+\sqrt{17}}{2}$。因此 $p=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆的交点

核心方法：联立消 $y$：$x^2+(p-4)x+1=0$，$x_M=\frac{4-p}{2}$，$y_M=\frac{\sqrt{6p-p^2}}{2}$。

避坑指南：$y_M=x_M$ 给 $p^2-7p+8=0$，$p=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线与圆相交。

结论推广：韦达定中点。

方法推广：注意根的取舍。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1987-上海-28 解-抛物线上的最值
• 1989-广东理-33 解-对数函数与抛物线