1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式展开式中指定次项系数的求法。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 已知 ${\left(\frac{a}{x}-\sqrt{\frac{x}{2}}\right)}^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{9}{4}$，常数 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式。
2. 令 $x$ 的指数等于 $3$ 定出项数，再由系数求 $a$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{r+1}=C_9^r{\left(\frac{a}{x}\right)}^{9-r}{\left(-\sqrt{\frac{x}{2}}\right)}^r=C_9^r{a}^{9-r}(-1{)}^r{2}^{-r/2}{x}^{-(9-r)+\frac{r}{2}}$。令指数 $-9+r+\frac{r}{2}=3$，即 $\frac{3r}{2}=12$，得 $r=8$。此时 $x^3$ 的系数为 $C_9^8\cdot a^1\cdot (-1{)}^8\cdot 2^{-4}=9a\cdot \frac{1}{16}=\frac{9a}{16}$。由 $\frac{9a}{16}=\frac{9}{4}$，解得 $a=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的系数

核心方法：$(\frac{a}{x}-\sqrt{\frac{x}{2}}{)}^9$ 通项 $C_9^r(\frac{a}{x}{)}^{9-r}(-\sqrt{\frac{x}{2}}{)}^r$，指数 $-(9-r)+\frac{r}{2}=3$ 得 $r=8$，系数 $C_9^{8}a\cdot 2^{-4}=\frac{9a}{16}=\frac{9}{4}$，故 $a=4$

避坑指南：由指数定项再定系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，由指数定项数再求系数

方法推广：指数定项定系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-09 填-二项式展开式的系数
• 1999-上海文-03 填-二项式展开的指定项系数
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数