1997-上海理-11 填-二项式系数和与特定项

本题导读

本题考查二项式展开式的系数和与特定项的系数。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 若 $(3x+1{)}^n$（$n\in \mathbb{N}$）的展开式中各项系数的和是 $256$，则展开式中 $x^2$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $x=1$ 得各项系数和，定 $n$。
2. 由通项求 $x^2$ 的系数。

✅【答案】

Success

$54$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$，得各项系数和 $(3+1{)}^n=4^n=256=4^4$，故 $n=4$。展开式通项 $T_{r+1}=C_4^r(3x{)}^{4-r}\cdot 1^r=C_4^r\cdot 3^{4-r}{x}^{4-r}$，令 $4-r=2$ 得 $r=2$，故 $x^2$ 的系数为 $C_4^2\cdot 3^2=6\times 9=54$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数和与特定项

核心方法：各项系数和 $=(3+1{)}^n=4^n=256=4^4$，故 $n=4$；$x^2$ 系数 $C_4^2\cdot 3^2=6\cdot 9=54$

避坑指南：系数和定 n 再定项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，令 $x=1$ 得各项系数和

方法推广：系数和定 n 再定项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-上海理-09 填-二项式展开式的系数
• 1999-上海理-03 填-二项式展开的指定项系数