1995-上海理-13 填-二项式展开的系数比

本题导读

本题考查二项式展开式中相邻项系数的比，以及组合数公式的应用。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 若 $(x+1{)}^n=x^n+\cdots +a{x}^3+b{x}^2+\cdots +1$（$n\in \mathbf{N}$），且 $a:b=3:1$，那么 $n=$　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $x^3$、$x^2$ 的系数。
2. 由系数比列方程求 $n$。

✅【答案】

Success

$11$

✍【详细解析】

Abstract

$(x+1{)}^n$ 中 $x^3$ 的系数 $a=C_n^3$，$x^2$ 的系数 $b=C_n^2$。由 $a:b=3:1$，得 $\frac{C_n^3}{C_n^2}=3$，即 $\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{n(n-1)}{2}}=3$，$\frac{n-2}{3}=3$，解得 $n=11$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的系数比

核心方法：$(x+1{)}^n$ 中 $x^3$ 系数 $a=C_n^3$、$x^2$ 系数 $b=C_n^2$，$\frac{a}{b}=\frac{C_n^3}{C_n^2}=\frac{n-2}{3}=3$，得 $n=11$

避坑指南：二项式系数比定 $n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，比较相邻系数定 $n$

方法推广：二项式系数比定 $n$

🔗【关联脉络】

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