1996-上海理-14 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式展开式中特定项的系数，以及两二项式相乘的卷积求和。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 在 $(1+x{)}^6(1-x{)}^4$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是　　　.（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

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1. 用卷积公式求 $x^3$ 的系数。
2. 对 $i$ 从 $0$ 到 $3$ 求和。

✅【答案】

Success

$-8$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^6$ 的 $x^i$ 系数为 $C_6^i$，$(1-x{)}^4$ 的 $x^{3-i}$ 系数为 $C_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}$。故 $x^3$ 的系数为 ${\sum }_{i=0}^3{C}_6^i{C}_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}=C_6^0{C}_4^3(-1{)}^3+C_6^1{C}_4^2(-1{)}^2+C_6^2{C}_4^1(-1{)}^1+C_6^3{C}_4^0(-1{)}^0=-4+36-60+20=-8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的系数

核心方法：$(1+x{)}^6(1-x{)}^4$ 中 $x^3$ 系数 $={\sum }_{i=0}^3{C}_6^i{C}_4^{3-i}(-1{)}^{3-i}=C_6^0{C}_4^3(-1{)}^3+C_6^1{C}_4^2(-1{)}^2+C_6^2{C}_4^1(-1{)}^1+C_6^3{C}_4^0=-4+36-60+20=-8$

避坑指南：卷积求和定系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，两二项式相乘按卷积求和定系数

方法推广：卷积求和定系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-上海文-09 填-二项式展开式的系数
• 1999-上海文-03 填-二项式展开的指定项系数