1991-全国文-19 填-二项式展开系数关系

本题导读

本题考查二项式展开系数关系，以及由等差中项列方程求参数。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） $(ax+1{)}^7$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是 $x^2$ 的系数与 $x^4$ 的系数的等差中项.若实数 $a>1$，那么 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

写出 $x^2,x^3,x^4$ 的系数，用等差中项关系列方程。

✅【答案】

Success

$1+\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

展开式中 $x^2,x^3,x^4$ 的系数分别为 $C_7^2{a}^2=21a^2$、$C_7^3{a}^3=35a^3$、$C_7^4{a}^4=35a^4$。由 $x^3$ 系数是两端系数的等差中项，得 $2\cdot 35a^3=21a^2+35a^4$。因 $a>1$，除以 $7a^2$ 得 $5a^2-10a+3=0$，解得 $a=1\pm \frac{\sqrt{10}}{5}$。结合 $a>1$，$a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开系数关系

核心方法：$2\cdot 35a^3=21a^2+35a^4\Rightarrow 5a^2-10a+3=0$，$a>1$ 得 $a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}$

避坑指南：等差中项列方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式展开系数关系

结论推广：$C_7^2{a}^2,C_7^3{a}^3,C_7^4{a}^4$ 成等差

方法推广：等差中项列方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数
• 1994-上海文-08 填-二项式展开的指定项系数
• 1996-上海理-14 填-二项式展开式的系数