1989-上海-24 解-二项式系数相等

本题导读

本题考查二项式展开式中系数相等的问题。核心在于用二项式系数的对称性。

📌【题干】

Question

（1989年上海卷） 在 $(1-x^2{)}^{20}$ 的展开式中，如果第 $4r$ 项和第 $r+2$ 项的二项式系数相等，

(1)求 $r$ 的值；

(2)写出展开式中的第 $4r$ 项和第 $r+2$ 项.

🔍【思路分析】

破题导航

由第 4r 项与第 r+2 项二项式系数相等，用对称性求 r，再写通项。

✅【答案】

Success

(1)$r=4$；(2)$T_{16}=-{\mathrm{C}}_{20}^{15}{x}^{30}$，$T_6=-{\mathrm{C}}_{20}^5{x}^{10}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第 $4r$ 项的二项式系数为 ${\mathrm{C}}_{20}^{4r-1}$，第 $r+2$ 项的为 ${\mathrm{C}}_{20}^{r+1}$。相等当且仅当 $4r-1=r+1$ 或 $(4r-1)+(r+1)=20$。前者 $r=\frac{2}{3}$ 舍去；后者 $5r=20$，$r=4$。 （2）$r=4$ 时，第 $4r=16$ 项 $T_{16}={\mathrm{C}}_{20}^{15}(-x^2{)}^{15}=-15504x^{30}$，第 $r+2=6$ 项 $T_6={\mathrm{C}}_{20}^5(-x^2{)}^5=-15504x^{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数相等

核心方法：由二项式系数相等求 r 并写项。

避坑指南：二项式系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数。

结论推广：C₂₀^(4r−1)=C₂₀^(r+1)。

方法推广：对称性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-08 填-二项式展开的常数项
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1991-全国文-19 填-二项式展开系数关系