1991-上海-08 填-二项式展开的常数项

本题导读

本题考查二项式展开式中常数项的求法。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） ${\left(2x^2-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中的常数项为$\underline{}$（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

写通项令 $x$ 的指数为 0，确定项数后求系数。

✅【答案】

Success

$60$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_6^k(2x^2{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k=C_6^k{2}^{6-k}(-1{)}^k{x}^{12-3k}$。令 $12-3k=0$，得 $k=4$，常数项为 $C_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\cdot 4=60$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的常数项

核心方法：用二项式通项令 x 的指数为 0，确定项数后求系数。

避坑指南：二项式通项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：常数项即 x 指数为 0 的项。

结论推广：二项式通项 T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k。

方法推广：令指数为 0 定 k

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-三南-16 单-二项式展开的常数项
• 1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项
• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数