1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项

本题导读

本题考查二项式展开的常数项，以及通项公式的应用。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 在 ${\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^8$ 的展开式中常数项是 ()

A. -28　　　　　　　　　B. -7　　　　　　　　　C. 7　　　　　　　　　D. 28

🔍【思路分析】

破题导航

通项指数 $8-k-\frac{k}{3}=8-\frac{4k}{3}=0$ 得 $k=6$，系数 $C_8^6{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=7$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_8^k{\left(\frac{x}{2}\right)}^{8-k}{\left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)}^k=C_8^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{8-k}(-1{)}^k{x}^{8-k-\frac{k}{3}}$。令 $8-k-\frac{k}{3}=0$，即 $24-4k=0$，$k=6$。常数项系数 $C_8^6{\left(\frac{1}{2}\right)}^2(-1{)}^6=28\cdot \frac{1}{4}=7$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的常数项

核心方法：${\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^8$ 常数项指数 $8-k-\frac{k}{3}=0$，$k=6$，系数 $C_8^6(\frac{1}{2}{)}^2=7$

避坑指南：令两项指数之和为零解 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理

结论推广：常数项令指数和为零

方法推广：通项公式定指数解 $k$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数
• 1993-新高考文-13 单-两个二项式乘积的指定项系数
• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数