1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及乘积型展开式中指定项系数的分类求和。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 在 $(1-x^3)(1+x{)}^{10}$ 的展开式中，$x^5$ 的系数是 ()

A.$-297$　　B.$-252$　　C.$297$　　D.$207$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x^5$ 有两个来源：$(1+x{)}^{10}$ 中的 $x^5$ 项与 $-x^3$ 乘 $(1+x{)}^{10}$ 中的 $x^2$ 项。
2. 分别求系数再相加。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^{10}$ 中 $x^5$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_{10}^5=252$；$-x^3$ 与 $(1+x{)}^{10}$ 中 $x^2$ 项（系数 ${\mathrm{C}}_{10}^2=45$）相乘贡献 $x^5$ 的系数 $-45$。故 $x^5$ 的总系数为 $252-45=207$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的指定项系数

核心方法：$x^5$ 来自 ${\mathrm{C}}_{10}^5$ 项与 $-x^3\cdot {\mathrm{C}}_{10}^2{x}^2$ 项，系数 $252-45=207$，选 D

避坑指南：分类来源相加减

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，乘积型展开按来源分类：各项分别取通项后相加减

方法推广：分类取通项

🔗【关联脉络】

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