1989-全国卷理-16 填-二项式系数和

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的系数和。

📌【题干】

Question

（1989年全国卷(理)） 已知 $(1-2x{)}^7=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_7{x}^7$，那么 $a_1+a_2+\cdots +a_7=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察目标代数式： 待求目标为 $a_1+a_2+\cdots +a_7$，它是除了常数项 $a_0$ 之外，其余所有项的系数之和。
2. 利用赋值法剥离系数： - 发现若令 $x=1$，展开式的右端将变成整个多项式所有系数的绝对总和： $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_7$。
   • 发现若令 $x=0$，展开式的右端能够直接孤立、求解出常数项 $a_0$ 的值。
3. 作差化简： 用 $x=1$ 时的全系数总和，减去 $x=0$ 时的常数项 $a_0$，即可精准获得目标项的数值。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

已知恒等式： $(1-2x{)}^7=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_7{x}^7\text{(1)}$

第一步：求全部系数之和 令 $x=1$，代入恒等式 ① 的左右两边得： $(1-2\times 1{)}^7=a_0+a_1\times 1+a_2\times 1^2+\cdots +a_7\times 1^7$ $(-1{)}^7=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_7$ $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_7=-1\text{(2)}$

第二步：求常数项 $a_0$ 令 $x=0$，代入恒等式 ① 的左右两边得： $(1-2\times 0{)}^7=a_0+a_1\times 0+a_2\times 0^2+\cdots +a_7\times 0^7$ $1^7=a_0⟹a_0=1\text{(3)}$

第三步：作差求解目标式 将 ③ 式代入 ② 式中： $1+(a_1+a_2+\cdots +a_7)=-1$ 移项可得： $a_1+a_2+\cdots +a_7=-1-1=-2$

答案：-2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 赋值法在求解多项式及二项展开式系数和中的应用。
2. 核心方法： * 整体结构法： 牢记通过令 $x=1$ 提取全体系数、令 $x=0$ 提取常数项的基本模式，避免了使用二项式定理通项公式去逐项计算 $a_0$ 到 $a_7$ 每一个具体系数的庞大工作量。
3. 避坑指南： * 忽视常数项 $a_0$ 的存在： 容易在代入 $x=1$ 算出 $-1$ 后，粗心误认为 $-1$ 就是最终答案。必须仔细比对目标代数式，发现其不包含 $a_0$，从而进行扣除。
   • 奇数次幂的符号： 计算 $(-1{)}^7$ 时注意奇数次幂保留负号，不要算错成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于二项式定理章节极经典的传统填空题，源于教材对二项展开式系数性质的宏观考查。这种通过对变元进行特殊离散赋值来获取宏观代数特征值的做法，在高等数学**母函数（Generating Function）**和组合数学的计数公式推导中属于基石级方法。
2. 结论推广： 对于任意二项式展开式 $(A+Bx{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$：
   • 所有项的系数和： $S_{\text{全}}=(A+B{)}^n$；
   • 常数项： $a_0=A^n$；
   • 奇数项系数和（ $a_1+a_3+\cdots$）与偶数项系数和（ $a_0+a_2+\cdots$）可通过联合代入 $x=1$ 与 $x=-1$ 建立二元方程组直接解离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-19 填-二项式展开系数关系
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数