1995-全国卷理-06 单-二项式展开式的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及多项式展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 在 $(1-x^3)(1+x{)}^{10}$ 的展开式中，$x^5$ 的系数是 ()

A. $-297$　　　　　B. $-252$　　　　　　C. $297$　　　　　　D. $207$

🔍【思路分析】

破题导航

多项式乘法拆分：利用乘法分配律将原式展开为两项相减的形式： $(1-x^3)(1+x{)}^{10}=1\cdot (1+x{)}^{10}-x^3\cdot (1+x{)}^{10}$ 寻找目标次数项：

• 第一部分 $1\cdot (1+x{)}^{10}$ 中，要得到 $x^5$，需要求出 $(1+x{)}^{10}$ 展开式中 $x^5$ 的系数。
• 第二部分 $-x^3\cdot (1+x{)}^{10}$ 中，前面已经自带了 $x^3$，要与后面的项相乘凑成 $x^5$，必须求出后面 $(1+x{)}^{10}$ 展开式中 $x^2$ 的系数。 通项公式求解并合并：利用二项式通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r{x}^r$ 分别计算出组合数，最后进行减法运算得到最终系数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据多项式乘法的分配律，原式可以重写为： $(1-x^3)(1+x{)}^{10}=(1+x{)}^{10}-x^3(1+x{)}^{10}$

根据二项式定理，$(1+x{)}^{10}$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r\cdot 1^{10-r}\cdot x^r={\mathrm{C}}_{10}^r{x}^r(0\le r\le 10,r\in \mathbf{Z})$

要求原复合式中 $x^5$ 的系数，需从以下两部分分别提取 $x^5$ 项：

1. 第一部分 $(1+x{)}^{10}$ 中 $x^5$ 的项： 令 $r=5$，对应的项为 ${\mathrm{C}}_{10}^5{x}^5$，其系数为： ${\mathrm{C}}_{10}^5=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$

2. 第二部分 $-x^3(1+x{)}^{10}$ 中 $x^5$ 的项： 此项结构为 $-x^3\cdot T_{r+1}=-{\mathrm{C}}_{10}^r{x}^{3+r}$。 为了使总次数 $3+r=5$，需令 $r=2$。 对应的项为 $-{\mathrm{C}}_{10}^2{x}^5$，其系数为： $-{\mathrm{C}}_{10}^2=-\frac{10\times 9}{2\times 1}=-45$

3. 合并同类项系数： 将两部分的系数相加，得到 $x^5$ 的总系数为： $252+(-45)=207$

观察选项，D 选项符合计算结果。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；多项式乘法中的次数相加原则。
2. 核心方法：分析法。将复杂的相乘多项式通过“分家”的思想，转化为求基础二项式中某特定项系数的常规问题。
3. 避坑指南：
   • 漏掉正负号：在处理第二部分 $-x^3(1+x{)}^{10}$ 时，容易忽略前面的负号，导致错算成 $252+45=297$ 而误选 C。
   • 组合数计算失误：计算 ${\mathrm{C}}_{10}^5$ 时项数较多，务必分子分母逐项对齐约分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高二代数“排列、组合与二项式定理”章节的课后进阶提高题。是高考关于二项式定理考查中最经典、最稳健的双因式组合题型。
2. 结论推广：在 $(1-x^m)(1+x{)}^n$（其中 $n\ge m$）的展开式中，求 $x^k$（$m\le k\le n$）的系数，其通用解析式可直接表示为： $\text{系数}={\mathrm{C}}_n^k-{\mathrm{C}}_n^{k-m}$ 本题中 $m=3,n=10,k=5$，直接代入通式即可得到：${\mathrm{C}}_{10}^5-{\mathrm{C}}_{10}^2=252-45=207$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1996-上海文-14 填-二项式展开的系数
• 1996-上海理-14 填-二项式展开式的系数