1994-上海理-08 填-二项式展开的指定项系数

本题导读

本题考查二项式展开的指定项系数，以及通项公式的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(理)） ${\left(x^3-\frac{2}{x^2}\right)}^5$ 的展开式中，$x^5$ 的系数是（结果用数值表示） $\underline{}$..

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开通项。
2. 令 $x$ 的指数为 $5$ 求 $r$，再算系数。

✅【答案】

Success

$40$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}=C_5^r(x^3{)}^{5-r}{\left(-\frac{2}{x^2}\right)}^r=C_5^r(-2{)}^r{x}^{15-5r}$。令 $15-5r=5$，得 $r=2$，系数为 $C_5^2(-2{)}^2=10\times 4=40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的指定项系数

核心方法：$(x^3-\frac{2}{x^2}{)}^5$ 通项 $T_{r+1}=C_5^r(x^3{)}^{5-r}(-\frac{2}{x^2}{)}^r=C_5^r(-2{)}^r{x}^{15-5r}$，令 $15-5r=5$ 得 $r=2$，系数 $C_5^2(-2{)}^2=40$

避坑指南：二项展开通项定次数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，通项定次数求系数

方法推广：二项展开通项定次数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-14 填-二项式展开的系数
• 1995-上海理-13 填-二项式展开的系数比
• 1994-全国卷文-16 填-二项式展开的系数