1992-全国卷理-11 单-二项式展开的系数

本题导读

本题考查因式分解，以及二项式定理。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 在 $(x^2+3x+2{)}^5$ 的展开式中 $x$ 的系数为 ()

A. 160　　　　　　　　B. 240　　　　　　　　C. 360　　　　　　　　D. 800

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因式分解变形：直接展开三项式的五次方较为繁琐。观察底数 $x^2+3x+2$，利用十字相乘法可将其分解为 $(x+1)(x+2)$。
2. 转化为二项式积：原式可化为 $[(x+1)(x+2){]}^5=(x+1{)}^5(x+2{)}^5$。
3. 寻找 $x$ 的一次项来源：两个二项式各自展开后相乘，要得到包含 $x$ 的一次项，只能由：
   • $(x+1{)}^5$ 的常数项 $\times$ $(x+2{)}^5$ 的 $x$ 一次项；
   • $(x+1{)}^5$ 的 $x$ 一次项 $\times$ $(x+2{)}^5$ 的常数项。
4. 计算系数并求和：利用二项式通项公式分别求出上述各单项式的系数，相乘后再相加。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先对底数进行因式分解： $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$

因此，原式可以变形为： $(x^2+3x+2{)}^5=[(x+1)(x+2){]}^5=(x+1{)}^5(x+2{)}^5$

分别写出 $(x+1{)}^5$ 和 $(x+2{)}^5$ 展开式的通用项或前两项：

• $(x+1{)}^5=C_5^0{x}^5+\cdots +C_5^{4}x+C_5^5=\cdots +5x+1$ 其中， $x$ 的一次项为 $5x$，常数项为 1。
• $(x+2{)}^5=C_5^0{x}^5+\cdots +C_5^{4}x\cdot 2^4+C_5^5\cdot 2^5=\cdots +5\times 16x+32=\cdots +80x+32$ 其中， $x$ 的一次项为 $80x$，常数项为 32。

当两个多项式展开后相乘时，产生 $x$ 的一次项的组合方式仅有以下两种：

1. $(x+1{)}^5$ 的常数项与 $(x+2{)}^5$ 的一次项相乘： $1\times 80x=80x$
2. $(x+1{)}^5$ 的一次项与 $(x+2{)}^5$ 的常数项相乘： $5x\times 32=160x$

将这两部分的一次项相加，得到总的一次项为： $80x+160x=240x$

所以， $x$ 的系数为 240。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的特定项分析、多项式的乘法法则。
2. 核心方法：
   • 因式化归法：将复杂的 $n$ 项式化为简单的二项式积。
   • 二项式定理直接分析法技巧）：利用排列组合的挑选思想。 原式 $(x^2+3x+2{)}^5$ 是由 5 个相同的括号 $(x^2+3x+2)$ 相乘组成。要想最后乘出 $x$ 的一次项： 必须从其中 4 个括号里都挑选常数项“2”，从剩下的 1 个括号里挑选一次项“3x”（若选 $x^2$ 次数就超了）。 挑选组合的方法数为 $C_5^1$。 因此 $x$ 的一次项直接为： $C_5^1\times (3x)\times 2^4=5\times 3\times 16\cdot x=240x$。无需因式分解，直接。
3. 避坑指南：部分考生在计算 $(x+2{)}^5$ 的一次项时，容易漏掉 $2^4=16$ 这一系数步，错算为 $5x$，导致最后结果失真。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二项式定理板块的灵活变形题。直接取材于高中代数教材中“二项式定理的二阶应用”相关典型习题。
2. 结论推广：对于形如 $(a{x}^2+bx+c{)}^n$ 的多项式，若要求展开式中 $x$ 的一次项系数，当 $n\ge 1$ 时，其一次项系数的通用计算公式为： $C_n^1\cdot b\cdot c^{n-1}$。本题中 $a=1,b=3,c=2,n=5$，代入通用通式得： $C_5^1\times 3\times 2^4=5\times 3\times 16=240$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-08 填-二项式展开的指定项系数

• 1993-新高考文-13 单-两个二项式乘积的指定项系数

• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数