1993-新高考文-20 填-按奇偶性分类的组合计数

本题导读

本题考查按奇偶性分类的组合计数，以及加法原理的运用。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 从 $1,2,\cdots ,10$ 这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 $\underline{}$种取法（用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

四数和为奇 ⟺ 奇数个数为 $1$ 或 $3$，即 $C_5^1{C}_5^3+C_5^3{C}_5^1=50+50=100$。

✅【答案】

Success

$100$

✍【详细解析】

Abstract

十个数中奇数、偶数各 $5$ 个。四个数和为奇数当且仅当取奇数 $1$ 个、偶数 $3$ 个，或奇数 $3$ 个、偶数 $1$ 个。共有 $C_5^1{C}_5^3+C_5^3{C}_5^1=5\times 10+10\times 5=100$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：按奇偶性分类的组合计数

核心方法：奇 $1$ 偶 $3$ 与奇 $3$ 偶 $1$：$C_5^1{C}_5^3+C_5^3{C}_5^1=50+50=100$

避坑指南：和的奇偶由奇数个数决定，按奇数个数分类

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于组合与奇偶分析

结论推广：四个数和为奇等价于奇数个数为奇

方法推广：按奇数个数分类，各类组合数求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-21 填-组合计数与次品抽取
• 1996-全国卷文-17 填-正六边形顶点的三角形计数
• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数