1984-全国卷理-03 单-整数奇偶性与整除

本题导读

本题考查整数奇偶性的分类讨论。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 如果 $n$ 是正整数，那么 $\frac{1}{8}[1-(-1{)}^n](n^2-1)$ 的值()

A. 一定是零 B. 一定是偶数 C. 是整数但不一定是偶数 D. 不一定是整数

🔍【思路分析】

破题导航

按 $n$ 的奇偶分类；奇数时化为 $k(k+1)$，必为偶数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $n$ 为偶数时 $(-1{)}^n=1$，原式 $=0$，是偶数。当 $n$ 为奇数时设 $n=2k+1$，则原式 $=\frac{1}{4}(n^2-1)=\frac{1}{4}(n-1)(n+1)=k(k+1)$，为两个连续整数之积，必含因子 $2$，故为偶数。综上恒为偶数，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：整数奇偶性与整除

核心方法：奇偶分类讨论

避坑指南：偶数时式为 0；奇数时化为 k(k+1) 必为偶数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：整数分类与整除性质

结论推广：连续整数之积必含因子 2

方法推广：奇偶讨论的通用方法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-20 填-按奇偶性分类的组合计数
• 2012-广东卷(理)-04 单-函数奇偶性