1992-全国卷理-21 填-子集与组合计数

本题导读

本题考查集合的子集个数公式，以及组合数公式的计算。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 $S$，其中由 3 个元素组成的子集数为 $T$，则 $\frac{T}{S}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算全部子集数 $S$：若一个集合含有 $n$ 个元素，则其全部子集的个数为 $2^n$。已知 $n=10$，直接代入公式求出 $S$。
2. 计算 3 元子集数 $T$：从 10 个互不相同的元素中任意取出 3 个元素组成一个子集，属于不考虑顺序的组合问题，其子集个数即为组合数 $C_{10}^3$。
3. 求比值化简：将 $T$ 与 $S$ 的代数结果作比，通过约分化为最简分数。

✅【答案】

Success

$\frac{15}{128}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据有限集合与组合数的性质：

1. 含有 10 个元素的集合，其全部子集的总数 $S$ 为： $S=2^{10}=1024$

2. 从 10 个元素中任取 3 个元素组成的子集，其个数 $T$ 为组合数 $C_{10}^3$： $T=C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$

3. 计算 $\frac{T}{S}$ 的比值： $\frac{T}{S}=\frac{120}{1024}$

分子与分母同时除以最大公约数 8 进行约分化简： $\frac{120÷8}{1024÷8}=\frac{15}{128}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合子集总数公式 $2^n$，组合数公式 $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：
   • 容易将子集总数公式 $2^n$ 记错为 $2^{n-1}$（这是真子集的个数减1，或者非空真子集的混淆项）。
   • 计算组合数 $C_{10}^3$ 时注意不要算成排列数 $A_{10}^3=720$。因为集合内的元素具有无序性，例如子集 $\{1,2,3\}$ 与 $\{3,2,1\}$ 是同一个子集，必须除以 $3!$ 进行去序。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于集合与排列组合交汇的经典基础概念题。直接取材于高一数学必修“集合的子集”与高二选修“排列组合定理”两章课后基础练习题的综合组装。
2. 结论推广：对于含有 $n$ 个元素的有限集合，其中由 $m$ ($0\le m\le n$) 个元素组成的子集数占全部子集总数的比例，其通用推广通式为： $\frac{T}{S}=\frac{C_n^m}{2^n}$ 本题即为 $n=10,m=3$ 时的定量应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-20 填-按奇偶性分类的组合计数

• 2002-大纲文-06 单-集合子集关系

• 1993-旧高考文-21 填-组合计数与次品抽取