1992-全国文-22 填-子集与组合计数

本题导读

本题考查集合的子集计数，以及组合数的计算。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(文)） 设含有 $10$ 个元素的集合的全部子集数为 $S$，其中由 $3$ 个元素组成的子集数为 $T$，则 $\frac{T}{S}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

$S=2^{10}=1024$，$T=C_{10}^3=120$，$\frac{T}{S}=\frac{15}{128}$。

✅【答案】

Success

$\frac{15}{128}$

✍【详细解析】

Abstract

$n$ 元集合的子集总数为 $2^{10}=1024$；三元子集数为 $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$。故 $\frac{T}{S}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：子集与组合计数

核心方法：$S=2^{10}$，$T=C_{10}^3=120$，$\frac{T}{S}=\frac{15}{128}$

避坑指南：子集总数 $2^n$、三元子集组合数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于集合子集计数

结论推广：子集总数 $2^n$、三元子集 $C_n^3$

方法推广：两类计数相除

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-20 填-按奇偶性分类的组合计数
• 2002-大纲文-06 单-集合子集关系
• 1993-旧高考文-21 填-组合计数与次品抽取