本题导读
本题考查组合计数原理，以及立体几何多面体结构。
📌【题干】
Question
（1990年全国卷(理)） 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 ()
A. 70 个 B. 64 个 C. 58 个 D. 52 个
🔍【思路分析】
破题导航
- 基本组合计数：正方体共有 8 个顶点。构成一个四面体需要 4 个非共面的顶点，因此不加限制时任取 4 个顶点的总组合数为 。
- 找出非法共面情况：四点共面时无法构成四面体。需要分类数出正方体中所有 4 点共面的组合：
- 包含正方体的 6 个表面（每个面有 4 个顶点）；
- 包含正方体的 6 个对角面（截面）。
- 间接排除求解：利用总组合数减去所有共面的 4 点组合数，即得四面体的总个数。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
正方体共有 8 个顶点，从中任取 4 个顶点，所有的组合数为：
在这 70 种组合中，若选出的 4 个顶点在同一个平面内，则不能构成四面体。正方体中四点共面的情况分为以下两类：
正方体的 6 个表面： 每一个表面都有 4 个顶点，且这 4 个点共面。此类情况共有 6 种。
正方体的 6 个对角面： 正方体中相对的两个棱可以确定一个对角面（如面 ），每个对角面上包含 4 个顶点且共面。正方体共有 6 对相对的棱，故可确定 6 个对角面。此类情况共有 6 种。
经检验，不存在其他 4 点共面的特殊平面。 因此，四点共面的非合规组合总数为：
所以，能构成四面体的不同组合共有：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多面体的顶点组合特征，四点共面的几何判定，排除法在计数问题中的应用。
- 核心方法：间接排除法。涉及“空间多点组合几何体”的问题，直接分类讨论图形（如正四面体、直角四面体等）容易漏算，而通过“总数 共面数”的逆向思维可将问题转化为容易清点的平面特征。
- 避坑指南：
- 漏算对角面：考生往往只能直观地看到正方体的 6 个表面，容易忽略隐藏在内部的 6 个对角面，从而误选为 的错项 (B)。
- 分不清四面体与三棱锥的区别：四面体和三棱锥在结构上是等价的，只要四点不共面，均能形成合法的四面体，无需考虑其是否为正四面体。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题是排列组合与立体几何跨章节结合的经典重构题，源于教材对空间图形点、线、面位置关系及组合数应用的深度考查。
- 结论推广：
- 在以正方体的 8 个顶点为顶点的所有四面体（共 58 个）中，还可以根据其几何形态进行进一步细分：
- 正四面体（各个面均为正三角形）：共有 2 个（由不相邻的4个顶点构成）；
- 直角四面体/立体直角三角形（有3条棱两两垂直）：共有 8 个（每个顶点对应一个）；
- 一般普通四面体：共有 个。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)