2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值

本题导读

本题考查三角函数。核心在于辅助角公式与二倍角化简。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=\sqrt{3}{\cos }^2\omega x+\sin \omega x\cos \omega x+a$（其中 $\omega >0$，$a\in \mathbf{R}$），且 $f(x)$ 的图象在 $y$ 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 $\frac{\pi }{6}$。

(1) 求 $\omega$ 的值；

(2) 如果 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的最小值为 $\sqrt{3}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sqrt{3}{\cos }^2\omega x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x$，$\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$。
2. $f(x)=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x+\frac{1}{2}\sin 2\omega x=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)$。
3. (1) 最高点对应 $\cos \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)=1$，即 $2\omega x-\frac{\pi }{6}=2k\pi$。$y$ 轴右侧第一个最高点取 $k=0$：$x=\frac{\pi }{12\omega }=\frac{\pi }{6}$，$\omega =\frac{1}{2}$。
4. (2) $\omega =\frac{1}{2}$，$f(x)=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$。$x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$，$x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right]$，$\cos$ 最小 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。
5. $a+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $\omega =\frac{1}{2}$

(2) $a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

利用二倍角公式 $\sqrt{3}{\cos }^2\omega x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x$、$\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$，得 $f(x)=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x+\frac{1}{2}\sin 2\omega x=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right).$

（1）当 $2\omega x-\frac{\pi }{6}=2k\pi$ 时 $f(x)$ 取得最大值．因为 $\omega >0$，$y$ 轴右侧的第一个最高点对应 $k=0$，其横坐标为 $x=\frac{\pi }{12\omega }$．由题意 $\frac{\pi }{12\omega }=\frac{\pi }{6}$，解得 $\omega =\frac{1}{2}$．

（2）由 $\omega =\frac{1}{2}$ 得 $f(x)=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$． 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 时，$x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right]$，此区间上 $\cos$ 的最小值为 $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$． 故 $f(x)$ 的最小值为 $a+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$，由题意 $a+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{3},$ 解得 $a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角三角最值

核心方法：$f(x)=a+\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)$；(1) 最高点 $2\omega x-\frac{\pi }{6}=0$ 即 $x=\frac{\pi }{12\omega }=\frac{\pi }{6}$，$\omega =\frac{1}{2}$；(2) $x\in [-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}]$，$\cos (x-\frac{\pi }{6})$ 最小 $-\frac{1}{2}$，$a+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，$a=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

避坑指南：$\sqrt{3}{\cos }^2\omega x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2\omega x$；$\sin \omega x\cos \omega x=\frac{1}{2}\sin 2\omega x$；最高点取 $k=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 辅助角公式与三角最值

结论推广: $\sqrt{3}{\cos }^2\omega x+\sin \omega x\cos \omega x$ 降幂化一

方法推广: 最高点对应相位 $2k\pi$，取 $k=0$ 得 $y$ 轴右侧第一个

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-10 单-辅助角公式最值
• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值
• 2008-湖北文-16 解-三角化一区间最值
• 2009-北京文-15 解-二倍角最值