1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和的最值问题。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，满足 $3a_4=7a_7$，且 $a_1>0$，$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项的和.若 $S_n$ 取得最大值，则 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $3a_4=7a_7$ 用 $a_1,d$ 表示，解出 $d$ 与 $a_1$ 的关系。
2. $a_1>0$ 且 $d<0$，找 $a_n⩾0$ 的最大 $n$。

✅【答案】

Success

$9$

✍【详细解析】

Abstract

设公差为 $d$。由 $3a_4=7a_7$，得 $3\left(a_1+3d\right)=7\left(a_1+6d\right)$，即 $3a_1+9d=7a_1+42d$，整理得 $-4a_1=33d$，故 $d=-\frac{4a_1}{33}$。由 $a_1>0$ 知 $d<0$，数列递减。通项 $a_n=a_1+(n-1)d=a_1\left(1-\frac{4(n-1)}{33}\right)=\frac{a_1(37-4n)}{33}$。令 $a_n⩾0$ 得 $n⩽\frac{37}{4}=9.25$，故 $a_9>0$，$a_{10}<0$。所以前 $9$ 项和 $S_9$ 最大，即 $n=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前n项和的最大值

核心方法：$3a_4=7a_7$ 得 $d=-\frac{4a_1}{33}$，$a_n=\frac{a_1(37-4n)}{33}$，$a_9>0>a_{10}$，$S_n$ 在 $n=9$ 最大

避坑指南：正负分界项定 $S_n$ 最大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列的性质

结论推广：一般地，$S_n$ 最值在 $a_n$ 变号处取得

方法推广：正负分界项定最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-04 单-等差数列求项数
• 2003-天津文-05 单-等差数列求项数