1997-全国卷理-21 解-等比数列的极限

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和公式、数列极限的性质与计算。核心在于公式代入法、分式极限处理（分子分母同除以最大项）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 都是由正数组成的等比数列，公比分别为 $p,q$，其中 $p>q$，且 $p\ne 1,q\ne 1$.设 $c_n=a_n+b_n$，$S_n$ 为数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和.求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

表示前 $n$ 项和：由于 $c_n=a_n+b_n$，则 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k+{\sum }_{k=1}^n{b}_k$。利用等比数列求和公式将其展开。 写出目标分式：写出 $\frac{S_n}{S_{n-1}}$ 的代数表达式。 分类讨论公比范围：极限 ${\lim }_{n\to \infty }{p}^n$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n$ 的结果取决于 $p$ 和 $q$ 是否大于 1。已知 $p>q$，需分为三种情况：

• 当 $p>q>1$ 时；
• 当 $p>1>q>0$ 时；
• 当 $1>p>q>0$ 时。 求极限：对于趋于无穷大的项，分子分母同除以最高次幂项以确定极限值。

✅【答案】

Success

$p$（$p>1$）或 $1$（$0<p<1$）

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1>0$，$\{b_n\}$ 的首项为 $b_1>0$。 因为 $p\ne 1,q\ne 1$，所以： $S_n=\frac{a_1(1-p^n)}{1-p}+\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{p-1}{p}^n-\frac{a_1}{p-1}+\frac{b_1}{q-1}{q}^n-\frac{b_1}{q-1}$

令 $A=\frac{a_1}{p-1}$，$B=\frac{b_1}{q-1}$，$C=-A-B$，则 $S_n=A{p}^n+B{q}^n+C$。 其中 $S_{n-1}=A{p}^{n-1}+B{q}^{n-1}+C$。 目标极限为： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{A{p}^n+B{q}^n+C}{A{p}^{n-1}+B{q}^{n-1}+C}$

根据 $p>q$ 且均大于 0 且不等于 1，分情况讨论：

情况 1：当 $p>q>1$ 时

此时当 $n\to \infty$ 时，$p^n\to \infty ,q^n\to \infty$，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{q^n}{p^n}=0$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{p^n}=0$。 由于 $p>1$，则 $A=\frac{a_1}{p-1}>0$。 分子分母同除以 $p^{n-1}$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{Ap+B\cdot p\cdot {\left(\frac{q}{p}\right)}^n+\frac{C}{p^{n-1}}}{A+B\cdot {\left(\frac{q}{p}\right)}^{n-1}+\frac{C}{p^{n-1}}}=\frac{Ap+0+0}{A+0+0}=p$

情况 2：当 $p>1>q>0$ 时

此时当 $n\to \infty$ 时，$p^n\to \infty$，$q^n\to 0$。 由于 $p>1$，则 $A>0$。 分子分母同除以 $p^{n-1}$： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{Ap+B\cdot \frac{q^n}{p^{n-1}}+\frac{C}{p^{n-1}}}{A+B\cdot \frac{q^{n-1}}{p^{n-1}}+\frac{C}{p^{n-1}}}=\frac{Ap+0+0}{A+0+0}=p$

情况 3：当 $1>p>q>0$ 时

此时当 $n\to \infty$ 时，$p^n\to 0$，$q^n\to 0$。 因此： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=-A-B+C=C-A-B=-2(A+B)$ 原式极限直接代入可得： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}=\frac{0+0+C}{0+0+C}=1$ （注意：此处因为 $a_1>0,b_1>0$ 且 $p<1,q<1$，所以 $A<0,B<0$，从而常数项 $C=\frac{a_1}{1-p}+\frac{b_1}{1-q}>0$，因此分母极限 $C\ne 0$，可以直接运用极限四则运算法则）。

综上所述： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}=\{\begin{array}{ll}p,& p>1\\ 1,& 0<p<1\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列前 $n$ 项和公式的结构特征，以及无穷大项与无穷小项在分式求极限中的决定性作用。 核心方法：主导项分析法。当自变量趋于无穷大时，由增长速度最快的项（底数绝对值最大的指数项）决定整体的趋势。 避坑指南：

• 极易遗漏 $1>p>q>0$ 这一种情况，导致答案不全。
• 在处理 $1>p>q>0$ 时，误以为仍要除以 $p^{n-1}$。实际上当公比小于 1 时，指数项趋于 0，整个数列和收敛于常数，可直接求比值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题将高等数学中“无穷大阶的比较”和“级数收敛性”的思想融入到了高中等比数列中。$p>1$ 时对应级数发散，其前 $n$ 项和的增长速度由公比 $p$ 决定；$p<1$ 时对应级数收敛，前 $n$ 项和趋于定值，故前后项比值趋于 1。 结论推广：若数列 $S_n={\sum }_{i=1}^k{A}_i(p_i{)}^n+C$，其中 $p_1$ 是所有底数中绝对值最大的项，则：

• 当 $|p_1|>1$ 且 $A_1\ne 0$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}=p_1$。
• 当所有 $|p_i|<1$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=C\ne 0$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{S_{n-1}}=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-10 填-等差中项与数列求和
• 2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn
• 1999-上海文-10 填-等差数列前n项和的最大值