1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值

本题导读

本题考查复数的运算与几何意义。核心在于用复数乘法表示向量的旋转，再求辐角主值。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 已知向量 $\overrightarrow{OZ}$ 所表示的复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，将 $\overrightarrow{OZ}$ 绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转 $\frac{\pi }{4}$ 得 $\overrightarrow{OZ\prime }$，设 $\overrightarrow{OZ\prime }$ 所表示的复数为 $z\prime$，求复数 $z\prime +\sqrt{2}i$ 的辐角主值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $(z-2)i=1+i$ 解出 $z$。
2. 顺时针旋转 $\frac{\pi }{4}$ 即乘 $\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}$。
3. 求 $z\prime +\sqrt{2}i$ 的辐角主值。

✅【答案】

Success

$\frac{7\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(z-2)i=1+i$ 得 $z=\frac{1+i}{i}+2=\frac{(1+i)(-i)}{i\cdot (-i)}+2=-i+1+2=3-i$。于是 $z\prime =z\left[\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right]=(3-i)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}-2\sqrt{2}i$。所以 $z\prime +\sqrt{2}i=\sqrt{2}-\sqrt{2}i=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)$。设 $z\prime +\sqrt{2}i$ 的辐角主值为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 $\theta \in [0,2\pi )$，所以 $\theta =\frac{7\pi }{4}$，即 $\arg (z\prime +\sqrt{2}i)=\frac{7\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数旋转与辐角主值

核心方法：由 $(z-2)i=1+i$ 得 $z=3-i$；顺时针转 $\frac{\pi }{4}$ 得 $z\prime =(3-i)(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}-2\sqrt{2}i$；$z\prime +\sqrt{2}i=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$，辐角主值 $\frac{7\pi }{4}$

避坑指南：复数乘法旋转再求辐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的几何意义

结论推广：一般地，乘 $\cos \theta +i\sin \theta$ 即旋转 $\theta$

方法推广：复数乘法旋转求辐角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根
• 1999-上海理-08 填-向量的旋转坐标变换
• 2000-大纲文-02 单-复数的向量旋转