1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及由焦点与渐近线确定方程。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)） 与椭圆 $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$ 有相同焦点且以 $y=\pm \frac{4}{3}x$ 为渐近线的双曲线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆方程求焦点（半焦距 $c$）。
2. 由渐近线斜率与 $c^2=a^2+b^2$ 定 $a,b$。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，$c^2=49-24=25$，所以 $c=5$。设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，由题设 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，即 $b=\frac{4}{3}a$。又双曲线与椭圆同焦点，所以 $a^2+b^2=c^2=25$。代入 $b=\frac{4}{3}a$，得 $a^2+\frac{16}{9}{a}^2=25$，即 $\frac{25}{9}{a}^2=25$，故 $a^2=9$，$a=3$，$b=4$。因此双曲线方程为 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的标准方程

核心方法：椭圆 $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$ 焦点在 $x$ 轴，$c=\sqrt{49-24}=5$；双曲线与椭圆同焦点，$c=5$，渐近线 $y=\pm \frac{4}{3}x$ 即 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，结合 $a^2+b^2=25$ 得 $a=3,b=4$，方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$

避坑指南：由焦点与渐近线定 a,b

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材双曲线的标准方程

结论推广：一般地，双曲线渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，且 $c^2=a^2+b^2$

方法推广：由焦点与渐近线定 a,b

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-22 解-双曲线离心率的范围
• 2001-大纲文-14 填-双曲线焦点与垂直
• 2000-上海文-03 填-平移双曲线的焦点坐标