1997-全国卷理-11 单-椭圆关于直线的对称方程

本题导读

本题考查曲线关于直线的对称变换，以及椭圆的解析方程。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 椭圆 $C$ 与椭圆 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$ 关于直线 $x+y=0$ 对称，椭圆 $C$ 的方程是 ()

A. $\frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y+3{)}^2}{9}=1$　　B. $\frac{(x-2{)}^2}{9}+\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$ C. $\frac{(x+2{)}^2}{9}+\frac{(y+3{)}^2}{4}=1$　　D. $\frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(y-3{)}^2}{9}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

确定坐标映射规律：设已知椭圆上任意一点的坐标为 $(x_0,y_0)$，其关于直线 $x+y=0$（即 $y=-x$）的对称点坐标为 $(x,y)$。根据解析几何规律，关于直线 $y=-x$ 对称的变换公式为 $x=-y_0$ 且 $y=-x_0$，反解可得 $x_0=-y,y_0=-x$。 整体代数替换法：将 $x_0=-y$ 和 $y_0=-x$ 代入已知椭圆方程中，化简整理即可直接得到对称后的椭圆 $C$ 的方程。 特征点（中心）验证法（秒杀法）：已知椭圆的中心为 $(3,2)$。其关于直线 $x+y=0$ 对称后的新中心坐标必然为 $(-2,-3)$。通过对比四个选项中椭圆的中心坐标，结合 $a^2,b^2$ 分母位置的互换情况，可直接秒杀。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：整体代数替换法（严谨通法） 设已知椭圆上任意一点的坐标为 $(x_0,y_0)$，它满足方程： $\frac{(x_0-3{)}^2}{9}+\frac{(y_0-2{)}^2}{4}=1$

设该点关于直线 $x+y=0$ 对称后的对应点为 $(x,y)$。 根据平面解析几何的对称变换原理，关于直线 $y=-x$ 对称的点满足： $\{\begin{array}{l}x=-y_0\\ y=-x_0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=-y\\ y_0=-x\end{array}$

将 $x_0=-y$ 和 $y_0=-x$ 代入原椭圆方程中： $\frac{(-y-3{)}^2}{9}+\frac{(-x-2{)}^2}{4}=1$

利用完全平方公式的性质 $(-A{)}^2=A^2$，将分子中各项的负号化简脱去： $\frac{(y+3{)}^2}{9}+\frac{(x+2{)}^2}{4}=1$

调整加法两项的先后顺序，使其符合标准方程形式： $\frac{(x+2{)}^2}{4}+\frac{(y+3{)}^2}{9}=1$

比对选项，该结果与 A 选项完全一致。

方法二：核心特征点对称法（秒杀快法）

1. 求对称后的中心坐标： 已知椭圆 $\frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$ 的中心坐标为 $O_1(3,2)$。 该点关于直线 $y=-x$ 对称后的新中心坐标为 $O_2(-2,-3)$。 对应方程的分子结构必须为 $(x+2{)}^2$ 和 $(y+3{)}^2$。据此排除 B 和 D。

2. 判定分母位置的变化： 由于椭圆关于对角直线 $y=-x$ 进行了翻折，图形的长轴与短轴方向发生了横纵对调（原本平行于 $x$ 轴的长轴变换后平行于 $y$ 轴）。 因此，原来的横向分母 $9$ 变换后将变成纵向分母，原来的纵向分母 $4$ 变换后将变成横向分母。 即 $(x+2{)}^2$ 下方的分母应为 $4$， $(y+3{)}^2$ 下方的分母应为 $9$。据此排除 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：关于特殊直线 $y=-x$ 对称的坐标映射变换；椭圆方程形式的几何变换。 核心方法：“特征点代入法”与“分母互换律”。 避坑指南：

• 分母遗漏互换陷阱：本题最易错选 C。许多学生通过中心点对称算出了新中心为 $(-2,-3)$ 之后，习惯性地直接套用原有分母，保持 $x$ 下面是 $9$、 $y$ 下面是 $4$，从而误选 C。必须明确：关于斜率为 $\pm 1$ 的对角直线对称时，图形的横纵方向发生颠倒，方程的分母位置必然发生对调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于二次曲线位置关系与几何变换的经典考题，取材于高中解析几何教材中“曲线与方程”以及“椭圆的标准方程”章节关于图形对称变换的拓展提高题。 结论推广：对于任意代数曲线 $F(x,y)=0$，其关于特殊直线对称后的新曲线方程具有固定的代数对偶映射模型：

• 关于直线 $x-y=0$ (即 $y=x$) 对称：新方程为 $F(y,x)=0$（横纵直接互换）；
• 关于直线 $x+y=0$ (即 $y=-x$) 对称：新方程为 $F(-y,-x)=0$（横纵互换并均加负号）。 熟记这套坐标算子，在处理任何解析几何大题的对称变换时都可以实现一键直接化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-03 填-平移双曲线的焦点坐标
• 1998-上海文-11 填-双曲线的标准方程
• 1999-上海文-05 填-坐标系的平移