1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积

本题导读

本题考查折叠问题中三棱锥的体积，以及折叠前后垂直关系的保留。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 将边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起，使得 $BD=a$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积为 ()

A.$\frac{a^3}{6}$　　B.$\frac{a^3}{12}$　　C.$\frac{\sqrt{3}{a}^3}{12}$　　D.$\frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定折叠后 $D$ 到底面 $ABC$ 的距离。
2. 由底面积与高求体积。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

正方形边长为 $a$，对角线 $AC=B{D}_0=\sqrt{2}a$（折叠前）。设对角线交点为 $O$，折叠前 $BO=DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。折叠后 $BD=a$，在 $△BOD$ 中 $BO=DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$、$BD=a$，满足 $B{O}^2+D{O}^2=a^2=B{D}^2$，故 $BO\perp DO$。而 $AC\perp BO$、$AC\perp DO$，故 $AC\perp$ 面 $BOD$，$D$ 到底面 $ABC$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。底面 $△ABC$ 面积 $S=\frac{1}{2}{a}^2$。故 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方形折起的三棱锥体积

核心方法：折起后 $AC\perp BD$，$BD=a$，三棱锥 $D-ABC$ 底面 $△ABC$ 面积为 $\frac{a^2}{2}$，高为 $O$ 到 $D$ 的距离 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$，选 D

避坑指南：折叠后找高与底面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材折叠与三棱锥体积

结论推广：一般地，折叠前后垂直关系保留

方法推广：折叠定高与底

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-09 单-棱台中截面面积的运算
• 1999-全国卷文-10 单-多面体体积的分割
• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数