1991-全国文-23 解-棱台的体积

本题导读

本题考查棱台的体积。核心在于利用线面垂直确定底面形状与相似比，再用棱台体积公式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 如图，在三棱台 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，已知 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，$A_{1}A=A_1{B}_1=B_1{C}_1=a$，$B_{1}B\perp BC$，且 $B_{1}B$ 和底面 $ABC$ 所成的角是 $45^{\circ }$，求这个棱台的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

由垂直关系推出 $AB\perp BC$、底面为 $B$ 处直角的等腰三角形，定相似比，再代入体积公式。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{6}{a}^3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$ 及 $BC\perp B{B}_1$，且 $A{A}_1$ 与 $B{B}_1$ 的延长线交于一点，可证 $BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$，进而 $BC\perp AB$。故 $△ABC$ 为 $\angle B=90^{\circ }$ 的直角三角形，且 $\angle AB{B}_1=45^{\circ }$。作 $B_{1}D\perp AB$ 于 $D$，则 $B_{1}D=DB=A{A}_1=a$，故 $AB=2a$。由两底相似，$\frac{A_1{B}_1}{AB}=\frac{1}{2}$，得 $BC=2a$。于是下底面积 $S_1=\frac{1}{2}(2a{)}^2=2a^2$，上底面积 $S_2=\frac{1}{2}{a}^2$。由棱台体积公式 $V=\frac{a}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{a}{3}\left(2a^2+\frac{1}{2}{a}^2+a^2\right)=\frac{7}{6}{a}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台的体积

核心方法：$△ABC$ 为 $B$ 处直角等腰，$k=\frac{1}{2}$，$V=\frac{a}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{7}{6}{a}^3$

避坑指南：棱台体积公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱台的体积

结论推广：$V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

方法推广：棱台体积公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-12 单-正方形折起的三棱锥体积
• 1999-全国卷文-22 解-正四棱柱的截面与体积
• 1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角