1996-全国卷文-04 单-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的乘方运算，以及用三角形式简化高次乘方。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 复数 $\frac{(2+2i{)}^4}{(1-\sqrt{3}i{)}^5}$ 等于 ()

A.$1+\sqrt{3}i$　　B.$-1+\sqrt{3}i$　　C.$1-\sqrt{3}i$　　D.$-1-\sqrt{3}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把分子、分母都写成三角形式。
2. 用棣莫弗公式求高次幂，再作商。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(2+2i{)}^4={\left[2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\right]}^4=(2\sqrt{2}{)}^4(\cos \pi +i\sin \pi )=-64$。$(1-\sqrt{3}i{)}^5={\left[2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)\right]}^5=32\left(\cos \frac{25\pi }{3}+i\sin \frac{25\pi }{3}\right)=32\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=16+16\sqrt{3}i$。故原式 $=\frac{-64}{16+16\sqrt{3}i}=\frac{-4}{1+\sqrt{3}i}=\frac{-4(1-\sqrt{3}i)}{4}=-1+\sqrt{3}i$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方运算

核心方法：$(2+2i{)}^4=2^4(1+i{)}^4=16(2i{)}^2=-64$；$(1-\sqrt{3}i{)}^5=2^5(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}{)}^5=32(\cos \frac{25\pi }{3}+i\sin \frac{25\pi }{3})=32(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})=16+16\sqrt{3}i$；商 $=\frac{-64}{16+16\sqrt{3}i}=-1+\sqrt{3}i$，选 B

避坑指南：三角式乘方再作商

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的乘方

结论推广：一般地，用三角形式简化高次乘方

方法推广：三角式乘方作商

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根
• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1999-上海文-19 解-复数相等与模的范围