1994-上海-02 填-半角三角函数的求值

本题导读

本题考查半角三角函数的求值，以及半角公式的运用。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 计算：$\sin \left(\frac{1}{2}\arccos \frac{1}{8}\right)=$ $\underline{}$..

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\theta =\arccos \frac{1}{8}$，则 $\cos \theta =\frac{1}{8}$。
2. 用半角公式求 $\sin \frac{\theta }{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\theta =\arccos \frac{1}{8}$，则 $\cos \theta =\frac{1}{8}$，$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。故 $\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{8}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角三角函数的求值

核心方法：设 $\theta =\arccos \frac{1}{8}$，则 $\cos \theta =\frac{1}{8}$，$\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}=\sqrt{\frac{7/8}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

避坑指南：半角公式求值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材半角公式

结论推广：一般地，半角公式求值

方法推广：半角公式求值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-04 单-半角三角函数的符号
• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值
• 1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值