1991-三南-01 单-积化和差求值

本题导读

本题考查积化和差公式的运用，以及特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（1991年三南） $\sin 15^{\circ }\cos 30^{\circ }\sin 75^{\circ }$ 的值等于()

A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$　　　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{8}$　　　　　　　　　C. $\frac{1}{8}$　　　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

先用积化和差公式化简 $\sin 15^{\circ }\sin 75^{\circ }$，再与 $\cos 30^{\circ }$ 相乘。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由积化和差公式 $\sin 15^{\circ }\sin 75^{\circ }=\frac{\cos 60^{\circ }-\cos 90^{\circ }}{2}=\frac{\frac{1}{2}-0}{2}=\frac{1}{4}$，所以 $\sin 15^{\circ }\cos 30^{\circ }\sin 75^{\circ }=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：积化和差求值

核心方法：用积化和差 sin15°sin75°=(cos60°−cos90°)/2=1/4，再乘 cos30°=√3/2 得 √3/8。

避坑指南：积化和差化积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的积化和差是化简求值的基本工具，常与特殊角结合。

结论推广：可推广到 sinαsinβ、cosαcosβ、sinαcosβ 三类积化和差公式的灵活选用。

方法推广：和差化积、积化和差配合使用可化简任意三角式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1992-上海-01 填-积化和差求值
• 1998-全国卷文-21 解-正弦定理与和差化积
• 1994-上海-02 填-半角三角函数的求值