1998-全国卷文-21 解-正弦定理与和差化积

本题导读

本题考查正弦定理与和差化积公式。核心在于由边的关系与角差求出 $\sin B$。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$a$，$b$，$c$ 分别是 $A$，$B$，$C$ 的对边，设 $a+c=2b$，$A-C=\frac{\pi }{3}$，求 $\sin B$ 的值. （以下公式供解题时参考： $\sin A+\sin C=2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}$，$\sin A-\sin C=2\cos \frac{A+C}{2}\sin \frac{A-C}{2}$， $\cos A+\cos C=2\cos \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}$，$\cos A-\cos C=-2\sin \frac{A+C}{2}\sin \frac{A-C}{2}$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理把 $a+c=2b$ 化为 $\sin A+\sin C=2\sin B$。
2. 用和差化积公式，结合 $A+B+C=\pi$ 与 $A-C=\frac{\pi }{3}$ 求 $\sin B$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{39}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$a+c=2b$ 等价于 $\sin A+\sin C=2\sin B$。由和差化积公式及 $A-C=\frac{\pi }{3}$，有 $\sin A+\sin C=2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{\pi }{6}$。又因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$。因而 $\sqrt{3}\cos \frac{B}{2}=2\sin B=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$。三角形内角满足 $0<B<\pi$，故 $\cos \frac{B}{2}>0$，约去后得 $\sin \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。于是 $\cos \frac{B}{2}=\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$，从而 $\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{39}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与和差化积

核心方法：正弦定理 $a+c=2b\Rightarrow \sin A+\sin C=2\sin B$；和差化积得 $\sqrt{3}\cos \frac{B}{2}=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$，约去 $\cos \frac{B}{2}$ 得 $\sin \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，故 $\sin B=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{8}$

避坑指南：和差化积约去公因子

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正弦定理与和差化积

结论推广：一般地，和差化积后约去公因子得半角关系

方法推广：和差化积约公因子

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-15 解-解三角形与三角求值
• 2004-浙江文-18 解-解三角形最值
• 2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积