1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角

本题导读

本题考查正方体中异面直线所成的角，以及空间坐标向量的计算。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 在正方体 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1-ABCD$ 中，$M$、$N$ 分别为棱 $A_{1}A$ 和棱 $B_{1}B$ 的中点（如图）.若 $\theta$ 为直线 $CM$ 与 $D_{1}N$ 所成的角，则 $\sin \theta$ 的值为 ()

A. \dfrac19　　　　　　B. \dfrac23　　　　　　C. \dfrac{2\sqrt5}{9}　　　　　　D. \dfrac{4\sqrt5}{9}

🔍【思路分析】

破题导航

棱长 $1$ 建系，求方向向量 $\vec{u},\vec{v}$，$\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

取棱长 $1$，$A=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$C=(1,1,0)$、$D_1=(0,1,1)$，$M=(0,0,\frac{1}{2})$、$N=(1,0,\frac{1}{2})$。方向向量 $\vec{u}=(-2,-2,1)$、$\vec{v}=(2,-2,-1)$，$\vec{u}\cdot \vec{v}=-1$，$|\vec{u}|=|\vec{v}|=3$。两直线成角取锐角，$\cos \theta =\frac{1}{9}$，故 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体中异面直线所成的角

核心方法：建系得 $\vec{u}=(-2,-2,1)$、$\vec{v}=(2,-2,-1)$，$\cos \theta =\frac{1}{9}$，$\sin \theta =\frac{4\sqrt{5}}{9}$

避坑指南：异面直线角取锐角或直角，向量法先求夹角余弦绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正方体与异面直线所成角

结论推广：中点连线构造的异面角可全由坐标向量计算

方法推广：建系求向量夹角，最后取锐角并求正弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1995-全国卷文-10 单-正方体中异面直线所成的角
• 1997-全国卷文-23 解-正方体中的垂直、角与体积
• 1994-上海-14 单-异面直线的位置关系