1982-全国文-06 解-正方体截角与异面直线角

本题导读

本题考查正方体截角体积与异面直线所成角。核心在于等体积法求截去体积与平移法求角。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 已知正方体 $ABCD\text{-}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $a$.

(1)用平面 $A_{1}B{C}_1$ 截去一角后，求剩余部分的体积；

(2)求 $A_{1}B$ 和 $B_{1}C$ 所成的角.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)截去的是三棱锥 $B\text{-}{A}_1{B}_1{C}_1$，体积 $\frac{1}{6}{a}^3$；(2)平移 $B_{1}C$ 到 $A_{1}D$，$\angle B{A}_{1}D=60^{\circ }$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{5}{6}{a}^3$；(2)$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1)平面 $A_{1}B{C}_1$ 截去的是以 $B$ 为顶点、$△A_1{B}_1{C}_1$ 为底面的三棱锥，其体积 $V_{\text{截}}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}a\cdot a\right)\cdot a=\frac{1}{6}{a}^3$。故剩余部分的体积为 $a^3-\frac{1}{6}{a}^3=\frac{5}{6}{a}^3$。 (2)在正方体中，$B_{1}C$ 平移到 $A_{1}D$，于是 $A_{1}B$ 与 $B_{1}C$ 所成的角等于 $A_{1}B$ 与 $A_{1}D$ 所成的角 $\angle B{A}_{1}D$。而 $△B{A}_{1}D$ 是边长为 $\sqrt{2}a$ 的等边三角形，故 $\angle B{A}_{1}D=60^{\circ }$，即 $A_{1}B$ 和 $B_{1}C$ 所成的角为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截角与异面直线角

核心方法：等体积法与平移求角

避坑指南：截去三棱锥体积 $=\frac{1}{6}{a}^3$；平移 $B_{1}C$ 到 $A_{1}D$ 与 $A_{1}B$ 成 $60^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体的截面与异面直线

结论推广：截角体积与异面直线所成角

方法推广：等体积法与平移法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-01 单-正方体内四面体的体积
• 1993-旧高考文-18 单-正方体中异面直线所成的角