1985-全国文-01 单-正方体内四面体的体积

本题导读

本题考查正方体内截四面体的体积。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 如果正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 的棱长为 $a$，那么四面体 $A^{\prime }-ABD$ 的体积是 ()

A. $\frac{a^3}{2}$　B. $\frac{a^3}{3}$　C. $\frac{a^3}{4}$　D. $\frac{a^3}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

底面 $△ABD$ 在正方体底面上，高为 $A{A}^{\prime }=a$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$△ABD$ 是底面正方形的一半，面积 $S=\frac{a^2}{2}$；顶点 $A^{\prime }$ 到底面的距离即棱长 $a$。故 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体内四面体的体积

核心方法：四面体 $A^{\prime }-ABD$ 的底 $ABD$ 在正方体底面，高 $=a$。

避坑指南：$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1985 理科卷第 1 题同题。

结论推广：正方体内截四面体的体积恒为正方体的 $\frac{1}{6}$（等底等高）。

方法推广：找”底面在正方体一面上、高为棱长”的结构直接代锥体公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-23 单-正方体顶点构成四面体的计数
• 1986-全国文-07 单-正方体的全面积