2000-广东卷理-16 填-空间图形的正射影

本题导读

本题考查空间几何体在平面上的正射影。解题核心在于明确正方体有三组两两平行的面，因此只需分别讨论图形在上下底面、前后侧面、左右侧面这三个方向上的正射影情况。通过寻找关键顶点及中心点的投影位置，即可锁定正确图形。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 如图， $E$、$F$ 分别为正方体面 $AD{D}_1{A}_1$、面 $BC{C}_1{B}_1$ 的中心，则四边形 $BF{D}_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是$\underline{}$. (要求：把可能的图序号都填上)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定投影面分类：正方体共有6个面，分为三组互相平行的面：上下底面、左右侧面、前后侧面。相同方向的平行面上的正射影形状完全一致，因此只需分析三个方向的投影。
2. 各个方向投影分析：

• 上下底面投影（俯视图方向）：确定点 $B,F,D_1,E$ 在底面 $ABCD$ 上的投影位置，连线观察其几何形状。
• 前后侧面投影（主视图方向）：确定四个点在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 上的投影位置，连线观察其几何形状。
• 左右侧面投影（左视图方向）：确定四个点在侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 上的投影位置，连线观察其几何形状。

✅【答案】

Success

$\text{(1)}\text{(2)}\text{(3)}$

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 1。分别讨论四边形 $BF{D}_{1}E$ 的四个顶点 $B,F,D_1,E$ 在三组平行面上的正射影：

情况一：在上下底面（如底面 $ABCD$）上的正射影

• 点 $B$ 的投影是它本身 $B$。
• 点 $D_1$ 在底面的投影是顶点 $D$。
• 点 $E$ 是左侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 的中心，它在底面的投影是棱 $AD$ 的中点，记为 $E^{\prime }$。
• 点 $F$ 是右侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 的中心，它在底面的投影是棱 $BC$ 的中点，记为 $F^{\prime }$。
• 顺次连接四个投影点得到四边形 $B{F}^{\prime }D{E}^{\prime }$。由于 $F^{\prime }D\parallel B{E}^{\prime }$ 且 $B{F}^{\prime }=D{E}^{\prime }=\frac{1}{2}$，这是一个不退化的平行四边形，且两组对边均不与正方体的棱平行。
• 对照题中给出的图，此形状与图 ② 吻合。

情况二：在前后侧面（如正面 $AB{B}_1{A}_1$）上的正射影

• 点 $B$ 的投影是它本身 $B$。
• 点 $D_1$ 在该面的投影是顶点 $A_1$。
• 点 $E$ 在该面的投影是棱 $A{A}_1$ 的中点，记为 $E^{\prime \prime }$。
• 点 $F$ 在该面的投影是棱 $B{B}_1$ 的中点，记为 $F^{\prime \prime }$。
• 顺次连接四个投影点得到四边形 $B{F}^{\prime \prime }{A}_1{E}^{\prime \prime }$。由于 $F^{\prime \prime }{A}_1\parallel B{E}^{\prime \prime }$ 且 $B{F}^{\prime \prime }=A_1{E}^{\prime \prime }=\frac{1}{2}$，这同样是一个不退化的平行四边形。
• 对照题中给出的图，此形状与图 ① 吻合。

情况三：在左右侧面（如左侧面 $AD{D}_1{A}_1$）上的正射影

• 点 $D_1$ 的投影是它本身 $D_1$。
• 点 $E$ 的投影是它本身 $E$。
• 点 $B$ 在该面的投影是顶点 $A$。
• 点 $F$ 在该面的投影是面 $AD{D}_1{A}_1$ 的中心，即与点 $E$ 重合。
• 此时，四个顶点的投影退化为三个点：$A,E,D_1$。
• 连接这三个点，所得的轨迹是线段 $A{D}_1$（因为 $E$ 恰好是正方形 $AD{D}_1{A}_1$ 的中心，必然在线段 $A{D}_1$ 上）。
• 也就是说，在该方向上的投影退化为了一条对角线。
• 对照题中给出的图，此形状与图 ③ 吻合。

综上所述，可能发生的投影图形为 ①、②、③。

答案： ①②③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正射影（平行投影）的定义与画法；空间图形在特定平面上投影的退化现象（面退化为线）。
2. 核心方法：顶点定位法。处理空间图形的投影时，不需要想象整个图形的空中形态，只需将多边形的各个顶点逐一向下（或向侧面）作垂线，在目标平面上找到对应的投影点，再按照原图的连接关系连线即可。
3. 避坑指南：

• 容易漏掉情况三。当投影线与某些关键平面（如对角面 $BD{D}_1{B}_1$）平行时，部分边或面会发生重合退化，导致四边形投影缩减为一条线段。
• 图 ④ 为干扰项，空间凸四边形在平面上的正射影不可能呈现非凸的凹折线或断开结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于画三视图（正视图、侧视图、俯视图）考点的变体应用题，多用于训练和考查学生的空间几何构想力。
2. 结论推广：一个空间有界凸多边形在任意平面上的正射影，其几何图形只可能是凸多边形（边数可能减少）或者一条退化的线段，绝不可能产生凹多边形或非联通图形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1954-全国-01 解-六小问综合（指数对数二项式立体正弦）
• 1962-全国-09 解-正方体对角线垂足
• 1982-全国文-06 解-正方体截角与异面直线角