2000-新课标理-16 填-空间图形的正投影

本题导读

本题考查空间几何体在平面上的正投影。核心意图在于测试学生对正方体内部特定空间四边形向其各个表面进行正投影的几何想象力，要求能够精确判断空间关键顶点与中点在不同投影面上的位置分布。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 如图， $E、F$ 分别为正方体面 $AD{D}_1{A}_1$、面 $BC{C}_1{B}_1$ 的中心，则四边形 $BF{D}_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是$\underline{}$.（要求：把可能的图序号都填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别投影面分类：正方体共有 6 个面，根据空间对称性，射影平面可分为三类：

• 上下底面：面 $ABCD$ 与面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$；
• 前后侧面：面 $AB{B}_1{A}_1$ 与面 $DC{C}_1{D}_1$；
• 左右侧面：面 $AD{D}_1{A}_1$ 与面 $BC{C}_1{B}_1$。

2. 逐一跟踪顶点正投影坐标： 对于每一类投影方向（即三视图的俯视、主视、左视方向），分别求出四边形 $BF{D}_{1}E$ 的四个顶点 $B,F,D_1,E$ 落在该平面上的投影点位置。
3. 连线判定图形：将四个投影点依序连接，比对题目中给出的 ①、②、③、④ 四个图形，选出所有符合要求的几何形状。

✅【答案】

Success

$\text{(2)}\text{(3)}$

✍【详细解析】

Abstract

为了精确定位，设正方体的棱长为 2。建立三方向正投影分析：

情况一：向上下底面（如底面 $ABCD$）进行正投影（俯视图方向）

1. 顶点 $B$ 就在底面上，其射影为点 $B$（矩形的右下角顶点）。
2. 顶点 $D_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为点 $D$（矩形的左上角顶点）。
3. 中心点 $E$ 位于侧面 $AD{D}_1{A}_1$ 的正中心。其向底面投影时，落在线段 $AD$ 的中点上，记为 $E^{\prime }$。
4. 中心点 $F$ 位于侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 的正中心。其向底面投影时，落在线段 $BC$ 的中点上，记为 $F^{\prime }$。

将投影点依序相连得到四边形 $B{F}^{\prime }D{E}^{\prime }$：

• $E^{\prime }$ 是左边界 $AD$ 的中点， $D$ 是左上角顶点。
• $F^{\prime }$ 是右边界 $BC$ 的中点， $B$ 是右下角顶点。
• 连接后，图形为一个顶点分别在左上角、右下角、以及两侧边中点处的平行四边形。

比对给定图形：该轨迹与 图形 ② 完全吻合。

情况二：向前后侧面（如正面 $AB{B}_1{A}_1$）进行正投影（主视图方向）

1. 顶点 $B$ 就在正面上，其射影为点 $B$（矩形的右下角顶点）。
2. 顶点 $D_1$ 向正面 $AB{B}_1{A}_1$ 投影，落在线段 $A_1{B}_1$ 的左端点 $A_1$ 上（矩形的左上角顶点）。
3. 中心点 $E$ 位于左侧面。其向正面投影时，落在线段 $A{A}_1$ 的中点上，记为 $E^{\prime \prime }$。
4. 中心点 $F$ 位于右侧面。其向正面投影时，落在线段 $B{B}_1$ 的中点上，记为 $F^{\prime \prime }$。

将投影点依序相连得到四边形 $B{F}^{\prime \prime }{A}_1{E}^{\prime \prime }$：

• $E^{\prime \prime }$ 是左边界 $A{A}_1$ 的中点， $A_1$ 是左上角顶点。
• $F^{\prime \prime }$ 是右边界 $B{B}_1$ 的中点， $B$ 是右下角顶点。
• 该结构与情况一在完全对称，得到的也是一个两顶点在矩形对角、另两顶点在对边中点的平行四边形。

比对给定图形：该轨迹同样对应 图形 ②。

情况三：向左右侧面（如左侧面 $AD{D}_1{A}_1$）进行正投影（左视图方向）

1. 顶点 $B$ 向该面投影，落在线段 $AD$ 的右端点 $A$ 上（矩形的左下角顶点）。
2. 顶点 $D_1$ 就在该面上，其射影为点 $D_1$（矩形的右上角顶点）。
3. 中心点 $E$ 就在该面上，其射影为其自身（矩形的正中心点）。
4. 中心点 $F$ 位于相对的右侧面中心。其向左侧面投影时，重合落在线段 $AD{D}_1{A}_1$ 的正中心点 $E$ 上。

将投影点依序连接：

• 顶点 $B$ 与 $D_1$ 的射影分别构成了矩形的左下角顶点 $A$ 与右上角顶点 $D_1$，连线为正方形的对角线 $A{D}_1$。
• 点 $E$ 与点 $F$ 的射影重合于对角线 $A{D}_1$ 的中点（即正方形的中心）。

因此，四个点在左侧面上的正射影退化为一条共线的线段（即正方形的对角线 $A{D}_1$）。

比对给定图形：该轨迹与 图形 ③ 完全吻合。

综合结论

通过穷举正方体三个两两垂直的投影面方向，四边形 $BF{D}_{1}E$ 在各面上的正射影图形只可能是 ② 或 ③。

答案： ②③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体的正投影规律；点在空间坐标系下的面投影映射；三视图切面退化判定。
2. 核心方法：“关键点投影连线法”。
3. 避坑指南：

• 凭空直觉想象陷阱：本题极易因缺乏严谨的顶点追踪，凭直觉认为空间四边形投影后依然是一个普通的四边形，从而误选 ①。
• 点重合退化漏看陷阱：在分析向左右侧面投影时，必须认识到 $E$ 和 $F$ 的连线垂直于该侧面，因此它们在侧面上的正投影会重合为同一个点。当四边形的两个顶点重合，且另外两个顶点与该重合点共线时，整个四边形的投影会退化为一条线段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间想象力与画法几何基础，属于经典的视图射影辨析题。取材于高中立体几何教材中“三视图与直观图”章节关于特殊空间多边形正投影的拉分拔高填空题。

2. 结论推广：

• 当夹角 $\theta =90^{\circ }$（即多边形平面垂直于投影面）时，射影图形发生维度退化，由二维多边形退化为一维线段（如本题中的图③）；
• 当夹角 $\theta \ne 90^{\circ }$ 时，射影图形保持原多边形的仿射性质（如平行关系保持不变，因此平行四边形投影后仍为平行四边形，如本题中的图②）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 1954-全国-01 解-六小问综合（指数对数二项式立体正弦）
• 1962-全国-09 解-正方体对角线垂足
• 1982-全国文-06 解-正方体截角与异面直线角