1993-新高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想

本题导读

本题考查数列求和的归纳猜想与数学归纳法。核心在于由前几项和猜想通式并用归纳法证明。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 已知数列 $8\cdot \frac{1}{1^2\cdot 3^2}$，$8\cdot \frac{2}{3^2\cdot 5^2}$，$\cdots$，$8\cdot \frac{n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}$，$\cdots$.$S_n$ 为其前 $n$ 项和.计算得 $S_1=\frac{8}{9}$，$S_2=\frac{24}{25}$，$S_3=\frac{48}{49}$，$S_4=\frac{80}{81}$.观察上述结果，推测出计算 $S_n$ 的公式，并用数学归纳法加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

观察 $S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$，归纳递推通分化简。

✅【答案】

Success

$S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $S_1=\frac{8}{9}=\frac{4\cdot 1\cdot 2}{3^2}$，$S_2=\frac{24}{25}=\frac{4\cdot 2\cdot 3}{5^2}$，$S_3=\frac{48}{49}=\frac{4\cdot 3\cdot 4}{7^2}$，$S_4=\frac{80}{81}=\frac{4\cdot 4\cdot 5}{9^2}$，猜想 $S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$。 证明：当 $n=1$ 时，$S_1=\frac{4\cdot 1\cdot 2}{3^2}=\frac{8}{9}$，成立。假设 $n=k$ 时 $S_k=\frac{4k(k+1)}{(2k+1{)}^2}$ 成立，则 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=\frac{4k(k+1)}{(2k+1{)}^2}+\frac{8(k+1)}{(2k+1{)}^2(2k+3{)}^2}=\frac{(k+1)\left[4k(2k+3{)}^2+8\right]}{(2k+1{)}^2(2k+3{)}^2}.$ 注意到 $4k(2k+3{)}^2+8=4(k+2)(2k+1{)}^2$，故 $S_{k+1}=\frac{(k+1)\cdot 4(k+2)(2k+1{)}^2}{(2k+1{)}^2(2k+3{)}^2}=\frac{4(k+1)(k+2)}{(2k+3{)}^2}$，即 $n=k+1$ 时公式也成立。由归纳原理，对一切正整数 $n$ 有 $S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证明数列猜想

核心方法：猜想 $S_n=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$，归纳递推 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$ 通分化简

避坑指南：归纳法先猜后证，递推后通分核对结构

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数学归纳法

结论推广：裂项通项可猜想 $S_n$ 的封闭形式

方法推广：归纳递推后通分化简验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1993-旧高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想
• 1995-全国卷文-23 解-等比数列前 n 项和的对数不等式证明
• 1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项