1993-旧高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想

本题导读

本题考查数学归纳法证明数列猜想。核心在于由前几项归纳猜想 $S_n$，并用裂项相消完成递推。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 已知数列 $\frac{8\cdot 1}{1^2\cdot 3^2}$，$\frac{8\cdot 2}{3^2\cdot 5^2}$，$\cdots$，$\frac{8n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}$，$\cdots$，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.计算得 $S_1=\frac{8}{9}$，$S_2=\frac{24}{25}$，$S_3=\frac{48}{49}$，$S_4=\frac{80}{81}$.观察上述结果，推测出计算 $S_n$ 的公式，并用数学归纳法加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $S_1,S_2,S_3,S_4$ 与 $1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ 对照提出猜想。
2. 通项裂项 $a_n=\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$。
3. 归纳假设下 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}$ 裂项相消。

✅【答案】

Success

$S_n=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$（$n\in \mathbf{N}$）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a_n=\frac{8n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}=\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$，由前几项可猜想 $S_n=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}=\frac{4n(n+1)}{(2n+1{)}^2}$。 当 $n=1$ 时，$S_1=\frac{8}{9}=1-\frac{1}{3^2}$，公式成立。假设 $n=k$ 时 $S_k=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}$，则 $S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=1-\frac{1}{(2k+1{)}^2}+\frac{1}{(2k+1{)}^2}-\frac{1}{(2k+3{)}^2}=1-\frac{1}{(2k+3{)}^2}$，即 $n=k+1$ 时公式也成立。 由数学归纳法，对任意正整数 $n$ 都有 $S_n=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证明数列猜想

核心方法：猜想 $S_n=1-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$，用裂项 $a_n=\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ 归纳证明

避坑指南：由前几项归纳猜想，裂项相消是递推关键

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数学归纳法与裂项求和

结论推广：$\frac{8n}{(2n-1{)}^2(2n+1{)}^2}=\frac{1}{(2n-1{)}^2}-\frac{1}{(2n+1{)}^2}$

方法推广：归纳法先猜后证，裂项相消完成递推

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-20 解-奇偶分段数列归纳
• 2010-湖南卷文-20 解-数表归纳与裂项
• 2010-江苏卷-23 解-有理数与归纳证明