1992-三南-14 单-等比数列的运算

本题导读

本题考查等比数列的运算，以及下标成等差时各项乘积的指数规律。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 设 $\{a_n\}$ 是由正数组成的等比数列，公比 $q=2$，且 $a_1{a}_2{a}_3\cdots a_{30}=2^{30}$，那么 $a_3{a}_6{a}_9\cdots a_{30}$ 等于 ()

A. $2^{10}$　　　　　　　　B. $2^{20}$　　　　　　　　C. $2^{16}$　　　　　　　　D. $2^{15}$

🔍【思路分析】

破题导航

设 $a_1=A$，$a_n=A\cdot 2^{n-1}$。由 $A^{30}{2}^{0+1+\cdots +29}=2^{30}$ 得 $A^{30}=2^{-405}$，$A=2^{-27/2}$。$a_3{a}_6\cdots a_{30}=A^{10}{2}^{2+5+\cdots +29}=2^{-135}\cdot 2^{155}=2^{20}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $a_1=A$，则 $a_n=A\cdot 2^{n-1}$。由已知 $A^{30}\cdot 2^{0+1+\cdots +29}=2^{30}$，即 $A^{30}\cdot 2^{435}=2^{30}$，故 $A^{30}=2^{-405}$，因各项为正得 $A=2^{-27/2}$。于是 $a_3{a}_6\cdots a_{30}=A^{10}\cdot 2^{(3-1)+(6-1)+\cdots +(30-1)}=2^{-135}\cdot 2^{155}=2^{20}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的运算

核心方法：$a_1=2^{-27/2}$，$a_3{a}_6\cdots a_{30}=2^{20}$

避坑指南：等比数列指数求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列下标成等差的性质

结论推广：$a_3{a}_6\cdots a_{30}$ 共 10 项，指数成等差

方法推广：等比通项指数运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1993-上海-08 填-等比数列与无穷级数求和
• 1993-新高考文-15 单-等比数列两项和的大小比较
• 1993-旧高考文-07 单-等比数列与对数求和